第二章平面向量章末及时巩固
一、选择题
1．下列命题中，真命题的个数为(其中a≠0，b≠0)( )
①|a|＋|b|＝|a＋b|?a与b方向相同
②|a|＋|b|＝|a－b|?a与b方向相反
③|a＋b|＝|a－b|?a与b有相等的模
④|a|－|b|＝|a－b|?a与b方向相同
A．0
B．1
C．2
D．3
[答案] C
[解析] 对于③当a与b互相垂直时，构成矩形时才有|a＋b|＝|a－b|因此③错，对于④当a与b方向相同且|b|≤|a|时才有|a|－|b|＝|a－b|因此④错，①②正确，故选C.
2．(2010·广东文，5)若向量a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)，满足条件(8a－b)·c＝30，则x＝( )
A．6
B．5
C．4
D．3
[答案] C
[解析] (8a－b)·c＝(6,3)·(3，x)＝18＋3x＝30.
∴x＝4.故选C.
3．已知两个力F1、F2的夹角为90°，它们的合力大小为10N，合力与F1的夹角为60°，则F1的大小为( )
A．5N B．5N C．10N D．5N
[答案] B
[解析] |F1|＝|F|·cos60°＝5.
4．直角坐标系xOy中，i、j分别是与x、y轴正方向同向的单位向量．若直角三角形ABC中，＝2i＋j，＝3i＋kj，则k的可能值个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
[答案] B
[解析] 不妨取A(0,0)，则B(2,1)，C(3，k)，＝(1，k－1)．
当AB⊥BC时，·＝2＋k－1＝0，∴k＝－1.
当AB⊥AC时，·＝6＋k＝0，∴k＝－6.
当AC⊥BC时，·＝3＋k2－k＝0，无解．
所以满足要求的k的可能值有2个．
5．已知|a|＝3|b|≠0，且关于x的方程2x2＋2|a|x＋3a·b＝0有实根，则a与b夹角的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
[答案] B
[解析] ∵关于x的方程2x2＋2|a|x＋3a·b＝0有实根，∴Δ＝4|a|2－24a·b≥0，
即|a|2≥6a·b.
∴|a|2≥6|a|·|b|cos〈a，b〉，
又∵|a|＝3|b|≠0.
∴cos〈a，b〉≤，
∵0≤〈a，b〉≤π，∴≤〈a，b〉≤π.
6．(2010·胶州三中)已知平面向量a＝(1，－3)，b＝(4，－2)，λa＋b与b垂直，则λ等于( )
A．－1
B．1
C．－2
D．2
[答案] C
[解析] λa＋b＝(λ＋4，－3λ－2)，∵λa＋b与b垂直，∴(λ＋4，－3λ－2)·(4，－2)＝4(λ＋4)－2(－3λ－2)＝10λ＋20＝0，∴λ＝－2.
7．(2010·新乡市模考)设平面内有四边形ABCD和点O，若＝a，＝b，＝c，＝d，且a＋c＝b＋d，则四边形ABCD为( )
A．菱形
B．梯形
C．矩形
D．平行四边形
[答案] D
[解析] 解法一：设AC的中点为G，则＋＝b＋d＝a＋c＝＋＝2，∴G为BD的中点，∴四边形ABCD的两对角线互相平分，∴四边形ABCD为平行四边形．
解法二：＝－＝b－a，＝－＝d－c＝－(b－a)＝－，∴AB綊CD，∴四边形ABCD为平行四边形．
8．已知O为原点，点A、B的坐标分别为A(a,0)、B(0，a)，其中常数a>0，点P在线段AB上，且有＝t(0≤t≤1)，则·的最大值为( )
A．a
B．2a
C．3a
D．a2
[答案] D
[解析] ∵＝t，
∴＝＋＝＋t(－)
＝(1－t)＋t＝(a－at，at)
∴·＝a2(1－t)，
∵0≤t≤1，∴·≤a2.
二、填空题
9．已知＝(3，－4)，＝(6，－3)，＝(5－m，－3－m)．若点A、B、C能构成三角形，则实数m应满足的条件为________．
[答案] m∈R且m≠
[解析] 若点A、B、C能构成三角形，则这三点不共线．
∵＝(3,1)，＝(2－m,1－m)，
∴3(1－m)≠2－m，∴m≠.
即实数m≠，满足条件．
10．已知e1，e2是夹角为60°的两个单位向量，a＝2e1＋e2，b＝－3e1＋2e2，则a与b的夹角θ＝________.
[答案] 120°
[解析] a·b＝(2e1＋e2)·(－3e1＋2e2)
＝－6|e1|2＋e1·e2＋2|e2|2＝－，
|a|＝＝，
|b|＝＝，
cosθ＝＝－，∴θ＝120°.
11．已知a＝(2,3)，b＝(－4,7)，则b在a方向上的投影为________．
[答案]
[解析] b在a方向上的投影为＝＝.
三、解答题
12．如右图所示，在△AOB中，若A，B两点坐标分别为(2,0)，(－3,4)，点C在AB上，且平分∠BOA，求点C的坐标．
[解析] 设点C坐标为(x，y)，
由于cos∠AOC＝cos∠BOC，且
cos∠AOC＝，cos∠BOC＝，
∴＝，
∴＝，
∴y＝2x.①
又∵与共线，＝(x＋3，y－4)，＝(x－2，y)，∴(x＋3)·y－(x－2)·(y－4)＝0，
∴4x＋5y－8＝0.②
由①，②联立解之得
∴C点的坐标为.
13．在正方形ABCD中，E、F分别为AB、BC的中点，求证：AF⊥DE.
[证明] 设＝a，＝b，则|a|＝|b|，a·b＝0，
由条件知，＝a，＝b，
∴＝－＝a－b，
＝＋＝＋＝a＋b，
∴·＝·
＝a2＋a·b－b·a－b2＝0.
即⊥，∴DE⊥AF.
14．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61，求a与b的夹角θ.
[解析] ∵(2a－3b)·(2a＋b)＝61，
∴4a2－4a·b－3b2＝61.
又|a|＝4，|b|＝3，∴a·b＝－6.
∴cosθ＝＝－.∴θ＝120°.
【点此下载】