第三章综合素质检测
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分150分。考试时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的。)
1．给出下列四个命题：①函数f(x)＝3x－6的零点是2；②函数f(x)＝x2＋4x＋4的零点是－2；③函数f(x)＝log3(x－1)的零点是1，④函数f(x)＝2x－1的零点是0，其中正确的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
[答案] C
[解析]当log3(x－1)＝0时，x－1＝1，∴x＝2，故③错，其余都对．
2．若函数y＝f(x)在区间[0,4]上的图象是连续不断的曲线，且方程f(x)＝0在(0,4)内仅有一个实数根，则f(0)·f(4)的值( )
A．大于0 B．小于0
C．等于0 D．无法判断
[答案] D
[解析] 如图(1)和(2)都满足题设条件．
3．函数f(x)＝ax＋b的零点是－1(a≠0)，则函数g(x)＝ax2＋bx的零点是( )
A．－1 B．0
C．－1和0 D．1和0
[答案] C
[解析] 由条件知f(－1)＝0，∴b＝a，∴g(x)＝ax2＋bx＝ax(x＋1)的零点为0和－1.
4．方程lgx＋x－2＝0一定有解的区间是( )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
[答案] B
[解析] ∵f(1)＝－1＜0，f(2)＝lg2＞0
∴f(x)在(1,2)内必有零点．
5．某商场对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额，
①如果不超过200元，则不予优惠．
②如果超过200元，但不超过500元，则按标准价给予9折优惠．
③如果超过500元，则其500元按第②条给予优惠，超过500元的部分给予7折优惠．
某人两次去购物，分别付款168元和423元，假设他只去一次购买上述同样的商品，则应付款是( )
A．413.7元 B．513.6元
C．546.6元 D．548.7元
[答案] C
[解析] 两次购物标价款：168＋＝168＋470＝638(元)，
实际应付款：500×0.9＋138×0.7＝546.6(元)．
7．(08·山东文)已知函数f(x)＝loga(2x＋b－1)(a>0，a≠1)的图象如图所示，则a、b满足的关系是( )
A．01，又当x＝0时，－1P(2005) D．P(2007)>P(2008)
[答案] D
[解析] 机器人程序为前进3步、后退2步，则P(3)＝3，P(5)＝1均正确，即5步等于前进了一个单位长度，
∴p(2003)＝P(2000)＋P(3)＝403，
P(2005)＝P(2000)＋P(5)＝401，
∴P(2003)>P(2005)正确．
又P(2007)＝P(2005)＋P(2)＝403，
P(2008)＝P(2005)＋P(3)＝404，
∴P(2007)>P(2008)错误．
9．已知函数f(x)的图象如图，则它的一个可能的解析式为( )
A．y＝2 B．y＝4－
C．y＝log3(x＋1) D．y＝x(x≥0)
[答案] B
[解析] 由于过(1,2)点，排除C、D；由图象与直线y＝4无限接近，但到达不了，即y＜4知排除A，∴选B.
10．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(x∈R)的部分对应值如表.
x
－3
－2
－1
0
1
2
3
4
5
…
y
－24
－10
0
6
8
6
0
－10
－24
…
则使ax2＋bx＋c＞0成立的x的取值范围是( )
A．(－10，－1)∪(1＋∞)
B．(－∞，－1)∪(3＋∞)
C．(－1,3)
D．(0，＋∞)
[答案] C
[解析] 由表可知f(x)的两个零点为－1和3，当－1＜x＜3时f(x)取正值∴使ax2＋bx＋c＞0成立的x的取值范围是(－1,3)．
11．方程4x－3×2x＋2＝0的根的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
[答案] C
[解析] 由4x－3×2x＋2＝0，得(2x)2－3×2x＋2＝0，解得2x＝2，或2x＝1，∴x＝0，或x＝1.
12．若方程mx－x－m＝0(m＞0，且m≠1)有两个不同实数根，则m的取值范围是( )
A．m＞1 B．0＜m＜1
C．m＞0 D．m＞2
[答案] A
[解析] 方程mx－x－m＝0有两个不同实数根，等价于函数y＝mx与y＝x＋m的图象有两个不同的交点．显然当m＞1时，如图(1)有两个不同交点当O＜m＜1时，如图(2)有且仅有一个交点．故选A.
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)
13．已知y＝x(x－1)(x＋1)的图象如图所示．令f(x)＝x(x－1)(x＋1)＋0.01，则下列关于f(x)＝0的解叙述正确的是________．
①有三个实根；
②x＞1时恰有一实根；
③当0＜x＜1时恰有一实根；
④当－1＜x＜0时恰有一实根；
⑤当x＜－1时恰有一实根(有且仅有一实根)．
[答案] ①⑤
[解析] f(x)的图象是将函数y＝x(x－1)(x＋1)的图象向上平移0.01个单位得到．故f(x)的图象与x轴有三个交点，它们分别在区间(－∞，－1)，(0，)和(，1)内，故只有①⑤正确．
14．某工程由A、B、C、D四道工序完成，完成它们需用的时间依次2、5、x、4天，四道工序的先后顺序及相互关系是：A、B可以同时开工；A完成后，C可以开工；B、C完成后，D可以开工，若完成该工程总时间数为9天，则完成工序C需要的天数x最大为________．
[答案] 3
[解析] 如图，
设工程所用总天数为f(x)，则由题意得：
当x≤3时，f(x)＝5＋4＝9，
当x>3时，f(x)＝2＋x＋4＝6＋x，
∴f(x)＝，
∵工程所用总天数f(x)＝9，
∴x≤3，∴x最大值为3.
15．已知抛物线y＝ax2与直线y＝kx＋1交于两点，其中一点坐标为(1,4)，则另一个点的坐标为______．
[答案] (－，)
[解析] 由条件知∴
由得，或.
16．已知函数f(x)＝，则方程f(x)＝的解为________．
[答案] －1或.
[解析] 由条件知或
∴x＝－1或x＝
三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本题满分12分)方程x2－＝0在(－∞，0)内是否存在实数解？并说明理由．
[解析] 不存在，因为当x＜0时，－＞0
∴x2－＞0恒成立，故不存在x∈(－∞，0)，使x2－＝0.
18．(本题满分12分)北京市的一家报刊摊点，从报社买进《北京日报》的价格是每份0.20元，卖出的价格是每份0.30元，卖不掉的报纸可以以每份0.05元的价格退回报社．在一个月(30天计算)里，有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进的份数必须相同，这个摊主每天从报社买进多少份，才能使每月所获的利润最大？并计算他一个月最多可赚得多少元？
[解析] 设每天从报社买进x份报纸，每月获得的总利润为y元，则依题意有
y＝0.10(20x＋10×250)－0.15×10(x－250)
＝0.5x＋625，x∈[250,400]．
该函数在[250,400]上单调递增，所以x＝400时，ymax＝825(元)．
答：摊主每天从报社买进400份时，每月所获得的利润最大，最大利润为825元．
19．(本题满分12分)电信局为了配合客户不同需要，设有A、B两种优惠方案，这两种方案应付电话费(元)与通话时间(分钟)之间的关系，如下图所示(实线部分)．(注：图中MN∥CD.)试问：
(1)若通话时间为2小时，按方案A、B各付话费多少元？
(2)方案B从500分钟以后，每分钟收费多少元？
(3)通话时间在什么范围内，方案B才会比方案A优惠．
[解析] 由图知M(60,98)，N(500,230)，C(500,168)，MN∥CD.
设这两种方案的应付话费与通话时间的函数关系分别为fA(x)、fB(x)，则
fA(x)＝
fB(x)＝
(1)通话2小时两种方案的话费分别为116元、168元．
(2)因为fB(n＋1)－fB(n)(n>500)＝(n＋1)＋18－n－18＝＝0.3(元)．
∴方案B从500分钟以后，每分钟收费0.3元．
(3)由图知，当0≤x≤60时，fA(x)500时，fA(x)>fB(x)，
∴当60fB(x)，得x>，
即当通话时间在(，＋∞)内时，方案B较A优惠．
20．(本题满分12分)若关于x的方程x2－2ax＋2＋a＝0有两个不相等的实根，求分别满足下列条件的a的取值范围．
(1)方程两根都大于1；
(2)方程一根大于1，另一根小于1.
[解析] 设f(x)＝x2－2ax＋2＋a
(1)∵两根都大于1，
∴，解得23.
21．(本题满分12分)某化工厂生产的一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%.若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少，问至少应过滤几次才能使产品达到市场要求？(已知：lg2＝0.3010，lg3＝0.4771)
[解析] 设过滤n次，则·n≤
即n≤，∴n≥＝≈7.4
又∵n∈N，
∴n≥8，即至少要过滤8次才能达到市场要求．
22．(本题满分14分)若二次函数y＝－x2＋mx－1的图象与两端点为A(0,3)、B(3,0)的线段AB有两个不同的交点，求m的取值范围．
[分析] 先求出线段AB的方程，之后将图象交点问题转化为方程组解的问题，再将方程组解的问题转化为二次函数在区间上有零点的问题，最后通过不等式组求得m的取值范围．
[解析] 线段AB的方程为x＋y＝3，
由题意得方程组在[0,3]上有两组实数解．
将①代入②得x2－(m＋1)x＋4＝0(0≤x≤3)，此方程有两个不同的实数根．
令f(x)＝x2－(m＋1)x＋4.则二次函数f(x)在x∈[0,3]上有两个实根，故有：
解得3＜m≤.
故m的取值范围是(3，]．
[点评] 本题可能会出现下面的错解，令f(x)＝－x2＋mx－1.
∵f(0)＝－1＜0，f(x)的图象开口向下，线段ABx＋y＝3(0≤x≤3)
如图，要使f(x)的图象与线段AB有两个不同交点应满足．
，∴，
∴无解．
错因是顶点在线段AB的上方与抛物线与线段AB有两个交点不等价．
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