第一、二章综合能力检测题
本试卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分，满分150分，时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)
1．点C在线段AB上，且＝，若＝λ，则λ等于( )
A. B.
C．－ D．－
[答案] C
[解析] 由＝知，||||＝23，且方向相反，∴＝－，∴λ＝－.
2．要想得到函数y＝sin的图象，只须将y＝cosx的图象( )
A．向右平移个单位
B．向左平移个单位
C．向右平移个单位
D．向左平移个单位
[答案] C
[解析] ∵y＝sin＝cos
＝cos＝cos，
∴将y＝cosx的图象向右移个单位可得到
y＝sin的图象．
3．设e1与e2是不共线向量，a＝ke1＋e2，b＝e1＋ke2，若a∥b且a≠b，则实数k的值为( )
A．1
B．－1
C．0
D．±1
[答案] B
[解析] ∵a∥b，∴存在实数λ，使a＝λb(b≠0)，
∴ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，∴(k－λ)e1＝(λk－1)e2，
∵e1与e2不共线，∴，∴λ＝k＝±1，
∵a≠b，∴k≠1.
[点评] e1与e2不共线，又a∥b，∴可知＝，∴k＝±1，∵a≠b，∴k＝－1.一般地，若e1与e2不共线，a＝me1＋ne2，b＝λe1＋μe2，若a∥b，则有＝.
4．若sinθ＝m，|m|<1，－180°<θ<－90°，则tanθ等于( )
A.
B．－
C．±
D．－
[答案] B
[解析] ∵－180°<θ<－90°，
∴sinθ＝m<0，tanθ>0，
故可知tanθ＝ .
5．△ABC中，·<0，·<0，则该三角形为( )
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．不能确定
[答案] C
[解析] 由·<0知，∠ABC为锐角；由·<0知∠ACB为钝角，故选C.
6．设α是第二象限的角，且＝－cos，则所在的象限是( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
[答案] C
[解析] ∵α为第二象限角，∴为第一或三象限角，∵＝－cos，∴cos≤0，∴选C.
7．已知点A(2，－1)，B(4,2)，点P在x轴上，当·取最小值时，P点的坐标是( )
A．(2,0)
B．(4,0)
C.
D．(3,0)
[答案] D
[解析] 设P(x,0)，则＝(2－x，－1)，＝(4－x,2)，·＝(2－x)(4－x)－2＝x2－6x＋6＝(x－3)2－3，当x＝3时，取最小值－3，∴P(3,0)．
8．O是△ABC所在平面内一点，且满足|－|＝|＋－2|，则△ABC为( )
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等边三角形
D．等腰直角三角形
[答案] B
[解析] ∵|－|＝|＋－2|，∴||＝|＋|，由向量加法的平行四边形法则知，以AB、AC为邻边的平行四边形两对角线长度相等，∴⊥.
9．如图是函数f(x)＝Asinωx(A>0，ω>0)一个周期的图象，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)的值等于( )
A.
B.
C．2＋
D．2
[答案] A
[解析] 由图知：T＝8＝，∴ω＝，
又A＝2，∴f(x)＝2sinx，
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋(5)＋f(6)＝2sin＋sin＋sin＋sin＋sin＋sin＝2sin＝.
[点评] 观察图象可知f(x)的图象关于点(4,0)中心对称，故f(3)＋f(5)＝0，f(2)＋f(6)＝0，又f(4)＝0，故原式＝f(1)＝.
10．已知y＝Asin(ωx＋φ)在同一周期内，x＝时有最大值，x＝时有最小值－，则函数的解析式为( )
A．y＝2sin
B．y＝sin
C．y＝2sin
D．y＝sin
[答案] B
[解析] 由条件x＝时有最大值，x＝时有最小值－可知，A＝，＝－，∴T＝，∴ω＝3，
∴y＝sin(3x＋φ)，将代入得，
＝sin，
∴＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，∴φ＝2kπ＋，
取k＝0知选B.
11．设点O是面积为4的△ABC内部一点，且有＋＋2＝0，则△AOC的面积为( )
A．2
B．1
C.
D.
[答案] B
[解析] 如图，以OA、OB为邻边作?OADB，则＝＋，结合条件＋＋2＝0知，＝－2，
设OD交AB于M，则＝2，∴＝－，
故O为CM的中点，
∴S△AOC＝S△CAM＝S△ABC＝×4＝1.
12．已知sinα＋cosα＝ (0<α<π)，则tanα＝( )
A．－
B．－
C.
D．－或－
[答案] B
[解析] 解法一：∵sinα＋cosα＝，0<<1,0<α<π，∴<α<π，
∴sinα>0，cosα<0，且|sinα|>|cosα|，
∴tanα<0且|tanα|>1，故选B.
解法二：两边平方得sinαcosα＝－，
∴＝－，∴60tan2α＋169tanα＋60＝0，
∴(12tanα＋5)(5tanα＋12)＝0，
∴tanα＝－或－，
∵0<α<π，sinα＋cosα＝>0，∴tanα＝－.
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)
13．已知扇形的圆心角为72°，半径为20cm，则扇形的面积为________．
[答案] 8πcm2
[解析] ∵72°＝×72＝，∴l＝×20＝8π，
S＝l·r＝×8π×20＝80π(cm2)．
14．已知a＝(3,4)，b＝(2，m)且a与b夹角为锐角，则m的取值范围是________．
[答案] m>－且m≠
[解析] a·b＝6＋4m>0，∴m>－，
又当a与b同向时，＝，∴m＝，
故m>－且m≠.
15．集合A＝{x|kπ－}，则A∩B＝________.
[答案] {x|＋2kπ0时，r＝x，∴sinα＝＝＝－，
cosα＝＝＝，
当x<0时，r＝－x，∴sinα＝＝，
cosα＝＝－.
22．(本题满分14分)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的一段图象如图所示．
(1)求f(x)的解析式；
(2)求f(x)的单调减区间，并指出f(x)的最大值及取到最大值时x的集合；
(3)把f(x)的图象向左至少平移多少个单位，才能使得到的图象对应的函数为偶函数？
[解析] (1)由图知A＝3，T＝4π－＝，
∴T＝5π，∴ω＝，∴f(x)＝3sin，
∵过(4π，－3)，∴－3＝3sin，
∴＋φ＝2kπ－，∴φ＝2kπ－，
∵|φ|<，∴φ＝－，∴f(x)＝3sin.
(2)由2kπ＋≤x－≤2kπ＋得，
5kπ＋≤x≤5kπ＋4π (k∈Z)，
∴函数f(x)的单调减区间为 (k∈Z)．
函数f(x)的最大值为3，取到最大值时x的集合为
{x|x＝5kπ＋，k∈Z}．
(3)解法一：f(x)＝3sin
＝3cos＝3cos
＝3cos，
故至少须左移个单位才能使所对应函数为偶函数．
解法二：f(x)＝3sin的图象的对称轴方程为x－＝kπ＋，∴x＝＋，当k＝0时，x＝，k＝－1时，x＝－π，故至少左移个单位．
解法三：函数f(x)在原点右边第一个最大值点为－＝，∴x＝，把该点左移到y轴上，需平移个单位．
解法四：观察图象可知，欲使函数图象左移后为偶函数，由其周期为5π可知，须把点变为或把点(4π，－3)变为等，可知应左移个单位．
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