新课标高二数学同步测试—（2－1第三章3.1） 说明：本试卷分第一卷和第二卷两部分，第一卷74分，第二卷76分，共150分；答题时间120分钟． 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）． 1．在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若
=
，
=
，
=
.则下列向量中与
相等的向量是（ ） A．
B．
C．
D．
2．在下列条件中，使M与A、B、C一定共面的是 （ ） A．
B．
C．

D．

3．已知平行六面体
中，AB=4，AD=3，
，
，
，则
等于 （ ） A．85 B．
C．
D．50 4．与向量
平行的一个向量的坐标是 （ ） A．（
，1，1） B．（－1，－3，2） C．（－
，
，－1） D．（
，－3，－2
） 5．已知A（－1，－2，6），B（1，2，－6）O为坐标原点，则向量
的夹角是（ ） A．0 B．
C．
D．
6．已知空间四边形ABCD中，
，点M在OA上，且OM=2MA，N为BC中点，则
= （ ） A．
B．
C．
D．
7．设A、B、C、D是空间不共面的四点，且满足
，则(BCD是 （ ） A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．不确定 8．空间四边形OABC中，OB=OC，(AOB=(AOC=600，则cos
= （ ） A．
B．
C．(
D．0 9．已知A（1，1，1）、B（2，2，2）、C（3，2，4），则
ABC的面积为 （ ） A．
B．
C．
D．
10． 已知
，则
的最小值为 （ ） A．
B．
C．
D．
二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题6分，共24分）． 11．若
，
，则
为邻边的平行四边形的面积为 ． 12．已知空间四边形OABC，其对角线为OB、AC，M、N分别是对边OA、BC的中点，点G在线段MN上，且
，现用基组
表示向量
，有
=x
，则x、y、z的值分别为 ． 13．已知点A(1，(2，11)、B(4，2，3)，C(6，(1，4)，则(ABC的形状是 ． 14．已知向量
，
，若
成1200的角，则k= ． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共76分)． 15．（12分）如图，已知正方体
的棱长为a，M为
的中点，点N在
'上，且
，试求MN的长． 16．（12分）如图在空间直角坐标系中BC=2，原点O是BC的中点，点A的坐标是（
，0），点D在平面yOz上，且∠BDC=90°，∠DCB=30°. （1）求向量
的坐标； （2）设向量
和
的夹角为θ，求cosθ的值 17．（12分）若四面体对应棱的中点间的距离都相等，证明这个四面体的对棱两两垂直． 18．（12分）四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是一个平行四边形，
={2，－1，－4}，
={4，2，0}，
={－1，2，－1}. （1）求证：PA⊥底面ABCD； （2）求四棱锥P—ABCD的体积； （3）对于向量
={x1，y1，z1}，
={x2，y2，z2}，
={x3，y3，z3}，定义一种运算： （
×
）·
=x1y2z3+x2y3z1+x3y1z2－x1y3z2－x2y1z3－x3y2z1，试计算（
×
）·
的绝对值的值；说明其与四棱锥P—ABCD体积的关系，并由此猜想向量这一运算（
×
）·
的绝对值的几何意义.． 19．（14分）如图所示，直三棱柱ABC—A1B1C1中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=2，M、N分别是A1B1、A1A的中点. （1）求
的长； （2）求cos<
>的值； （3）求证：A1B⊥C1M.
20．（14分）如图，已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD是菱形且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60°. （1）证明：C1C⊥BD； （2）假定CD=2，CC1=
，记面C1BD为α，面CBD为β，求二面角α—BD—β的平面角的余弦值； （3）当
的值为多少时，能使A1C⊥平面C1BD？请给出证明.
参考答案 一、1．A；解析：
=
+
（－
）=－

+

+
．评述：用向量的方法处理立体几何问题，使复杂的线面空间关系代数化，本题考查的是基本的向量相等，与向量的加法.考查学生的空间想象能力. 2．A；解析：空间的四点P、A、B、C共面只需满足
且
既可．只有选项A． 3．B；解析：只需将
，运用向量的内即运算即可，
． 4．C；解析：向量的共线和平行使一样的，可利用空间向量共线定理写成数乘的形式．即
． 5．C；解析：
，计算结果为－1． 6．B；解析：显然
． 7．B；解析：过点A的棱两两垂直，通过设棱长应用余弦定理可得三角形为锐角三角形． 8．D；解析：建立一组基向量
，再来处理
的值． 9．D；解析：应用向量的运算，显然
，从而得
． 10．C； 二、 11．
；解析：
，得
，可得结果． 12．
； 解析：
13．直角三角形；解析：利用两点间距离公式得：
． 14．
；解析：
，得
． 三、 15．解：以D为原点，建立如图空间直角坐标系．因为正方体棱长为a，所以B（a，a，0），A'（a，0，a），
（0，a，a），
（0，0，a）． 由于M为
的中点，取
中点O'，所以M（
，
，
），O'（
，
，a）．因为
，所以N为
的四等分，从而N为
的中点，故N（
，
，a）． 根据空间两点距离公式，可得
． 16．解：（1）过D作DE⊥BC，垂足为E，在Rt△BDC中,由∠BDC=90°,∠DCB=30°，BC=2，得BD=1，CD=
，∴DE=CD·sin30°=
. OE=OB－BE=OB－BD·cos60°=1－
. ∴D点坐标为（0，－
），即向量OD[TX→]的坐标为{0，－
}. （2）依题意：
， 所以
. 设向量
和
的夹角为θ，则 cosθ=

. 17． 证：如图设
，则
分别为
，
，
，
，
，
，由条件EH=GH=MN得：
展开得
∴
，∵
≠
，
≠
， ∴
⊥（
）即SA⊥BC． 同理可证SB⊥AC，SC⊥AB． 18． （1）证明：∵
=－2－2+4=0，∴AP⊥AB. 又∵
=－4+4+0=0，∴AP⊥AD. ∵AB、AD是底面ABCD上的两条相交直线，∴AP⊥底面ABCD. （2）解：设
与
的夹角为θ，则 cosθ=
V=
|
|·|
|·sinθ·|
|=
（3）解：|（
×
）·
|=|－4－32－4－8|=48它是四棱锥P—ABCD体积的3倍. 猜测：|（
×
）·
|在几何上可表示以AB、AD、AP为棱的平行六面体的体积（或以AB、AD、AP为棱的直四棱柱的体积）. 评述：本题考查了空间向量的坐标表示、空间向量的数量积、空间向量垂直的充要条件、空间向量的夹角公式和直线与平面垂直的判定定理、棱锥的体积公式等.主要考查考生的运算能力，综合运用所学知识解决问题的能力及空间想象能力. 19．如图，建立空间直角坐标系O—xyz. （1）依题意得B（0，1，0）、N（1，0，1） ∴|
|=
. （2）依题意得A1（1，0，2）、B（0，1，0）、C（0，0，0）、B1（0，1，2） ∴
={－1，－1，2}，
={0，1，2，}，
·
=3，|
|=
，|
|=
∴cos<
，
>=
. （3）证明：依题意，得C1（0，0，2）、M（
，2），
={－1，1，2}，
={
，0}.∴
·
=－
+0=0，∴
⊥
，∴A1B⊥C1M. 评述：本题主要考查空间向量的概念及运算的基本知识.考查空间两向量垂直的充要条件. 20．（1）证明：设
=
，
=
，
=
，则|
|=|
|，∵
=
－
， ∴
·
=（
－
）·
=
·
－
·
=|
|·|
|cos60°－|
|·|
|cos60°=0， ∴C1C⊥BD. （2）解：连AC、BD，设AC∩BD=O，连OC1，则∠C1OC为二面角α—BD—β的平面角. ∵
（
+
），
（
+
）－
∴
·
（
+
）·［
（
+
）－
］ =
（
2+2
·
+
2）－

·
－

·
=
（4+2·2·2cos60°+4）－
·2·
cos60°－
·2·
cos60°=
. 则|
|=
，|
|=
，∴cosC1OC=
（3）解：设
=x，CD=2， 则CC1=
. ∵BD⊥平面AA1C1C，∴BD⊥A1C ∴只须求满足：
=0即可. 设
=
，
=
，
=
， ∵
=
+
+
，
=
－
， ∴
=（
+
+
）（
－
）=
2+
·
－
·
－
2=
－6， 令6－
=0，得x=1或x=－
（舍去）. 评述：本题蕴涵着转化思想，即用向量这个工具来研究空间垂直关系的判定、二面角的求解以及待定值的探求等问题.

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