2.2 等差数列 同步练测
第一课时
建议用时
实际用时
满分
实际得分
45分钟
100分
一、填空题（每小题5分，共50分）
1.是首项为，公差为的等差数列，如果，则序号等于______．
2.如果，，，为各项都大于零的等差数列，公差，则______．
3.已知方程的四个根组成一个首项为的等差数列，则等于______．
4.等差数列中，，则等于______．
5.设数列、都是等差数列，且，那么由所组成的数列的第37项为______．
6.在等差数列中，，则 .
7.在等差数列中，若，则________.
8.将正偶数集合{2，4，6，…}从小到大按第组有2个偶数进行分组，即第1组：{2，4}，第2组：{6，8，
10，12}，第3组：{14，16，18，20，22，24}，则2 010位于第_____组.
9.设等差数列的公差为正数，若＝15，＝105，则＝________.
10.将正偶数按下表排成5列：
第1列
第2列
第3列
第4列
第5列
第1行
2
4
6
8
第2行
16
14
12
10
第3行
18
20
22
24
…
…
28
26
那么2 014应该在第________行第________列．
二、解答题（共50分）
11．（10分）(1)已知数列的前项和，求证：数列成等差数列.
(2)已知，，成等差数列，求证：，，也成等差数列.
12.（12分）已知等差数列中，，求其通项
13.（14分）某市出租车的计价标准为1.2元/千米，起步价为10元，即最初的4千米（不含4千米）计费为10元，如果某人乘坐该市的出租车去往14千米处的目的地，那么需要支付多少车费？
14.（14分）数列满足，（≥2），设=，
（1）判断数列是否为等差数列并试证明；
（2）求数列的通项公式.
2.2 等差数列 同步练测 第一课时答题纸
得分：
一、填空题
1. ；2. ；
3. ；4. ；
5. ；6. ；
7. ；8. ；
9. ；10. .
二、解答题
11.
12.
13.
14.
2.2 等差数列 同步练测 第一课时参考答案
一、填空题
1.699 解析：由题设，将代入通项公式，即，∴ ．
2. 解析：因为，
，所以．
3. 解析：方法1：可知，，，，而方程中两根之和为2，中两根之和也为2，
∴ ，
∴ ，，是一个方程的两个根，，是另一个方程的两个根．
∴ 和的值分别为或，∴ ．
方法2：设方程的四个根为，，，，且，，．
由等差数列的性质：若，则.若设为第一项，必为第四项，又，则，于是可得等差数列为，，，，
∴ ，，∴ ．
4.21 解析：∵ ，∴ .由，可得.∴ 公差.
∵ ，∴ ，解得.
5.100 解析：∵ 、为等差数列，∴也为等差数列.设，则，而，故.∴ .
6. 解析：∵ ，
∴
．
7.24 解析：∵ 是等差数列，∴ ，即.又∵ 是等差数列，
∴ .∴ .
8.32 解析：因为第组有2个偶数，故前组共有2＋4＋6＋…＋2＝(＋)个偶数.2 010是第1 005个偶数．若＝31，则＋＝992，而第32组中有64个偶数，992＋64＝1 056，故2 010在第32组．
9.75 解析：∵ ∴ ∴
∵ ，∴ ∴ .
10.252 2 解析：通项，故2 014为第1 007项.∵ 1 007＝4×251＋3，又251为奇数，因此2 014应排在第252行从右向左排第3个数，即252行第2列．
二、解答题
11．分析：判断给定数列是否为等差数列，关键看是否满足从第2项开始每项与其前一项的差为常数．
证明：（1）n＝1时，a1＝S1＝3－2＝1，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n2－2n－[3(n－1)2－2(n－1)]＝6n－5，
n＝1时，亦满足，∴ an＝6n－5(n∈N*)．
∵首项a1＝1，an－an－1＝6n－5－[6(n－1)－5]＝6(常数)(n∈N*)，
∴ 数列{an}成等差数列且a1＝1，公差为6．
（2）∵ ，，成等差数列，∴ ＝＋，化简得2ac＝b(a＋c)．
∴ ＋＝＝＝＝＝2·，
∴ ，，也成等差数列．
12.解：∵ a1+a7=2a4，且a1+a4+a7=15，∴ a4=5.又∵ a2a4a6=45，∴ a2a6=9.
设数列{an}的公差为d，又a4=5，∴ a2=a4－2d，a6=a4+2d.代入a2a6=9可得
(5－2d)(5+2d)=925－4d2=9d=±2.
当d=2时，an=a4+(n－4)d=5+(n－4)×2=2n－3(n∈N*);
当d=－2时，an=a4+(n－4)d=5+(n－4)×(－2)=13－2n(n∈N*).
13.解：可以抽象为等差数列的数学模型，4 千米的车费记为，公差.
当出租车行至目的地即14 千米处时，，求.
=11.2+（11-1）×1.2=23.2.
答：需要支付车费23.2元.
14.解：（1）∵ ，，
∴ 数列是公差为的等差数列.
（2）∵ ，，
∴ ，∴ .
2.2 等差数列 同步练测
第二课时建议用时
实际用时
满分
实际得分
45分钟
100分
一、填空题（每小题5分，共50分）
1.若数列是等差数列，首项，，，则使前项和成立的最大自然数是_______．
2.设是等差数列的前项和，若＝，则＝_______．
3.在等差数列中，，，若，则_______．
4.设是等差数列的前项和，若，则_______．
5.在等差数列中，，则此数列的前项之和为 .
6.等差数列中，，它的前11项的平均值是5，若从中抽取1项后余下的10项的平均值仍为5，则抽取的是第_______项.
7.设为等差数列的前n项和，＝14，＝30，则＝ .
8.等差数列中，，则此数列前20项的和等于 .
9.设等差数列的前项和为，若，，则 .
10.已知一个等差数列的前四项之和为21，末四项之和为67，前项和为286，则项数为 .
二、解答题（共50分）
11.（8分）设等差数列的前项和为，已知，，.
（1）求公差的取值范围；
（2）指出、、…、中哪一个值最大，并说明理由.
12.(8分)已知公差大于零的等差数列的前项和为，且满足：
（1）求通项；
（2）若数列是等差数列，且，求非零常数.
13.（8分）在等差数列{an}中，a1=－60，a17=－12.
(1)求通项an；
(2)求此数列前30项的绝对值的和.
14．（8分）已知数列{an}的首项为，通项与前n项和之间满足2·（n2）.
(1)求证：是等差数列，并求公差；
(2)求数列{an}的通项公式.
15.（10分）已知在正整数数列中，前项和满足：＝(＋2)2.
(1)求证：是等差数列；
(2)若＝－30，求数列前项和的最小值．16.（10分）已知数列的前项和.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和.
2.2 等差数列 同步练测 第二课时答题纸
得分：
一、填空题
1. ；2. ；
3. ；4. ；
5. ；6. ；
7. ；8. ；
9. ；10. .
二、解答题
11.
12.
13.
14.
15.
16.
2.2 等差数列 同步练测 第二课时参考答案
一、填空题
1. 4 006 解析：由a2 003＋a2 004＞0，a2 003·a2 004＜0，知a2 003和a2 004两项中有一正数一负数，又a1＞0，则公差为负数，否则各项总为正数，故a2 003＞a2 004，即a2 003＞0，a2 004＜0.
∴ S4 006＝＝＞0，
S4 007＝·(a1＋a4 007)＝·2a2 004＜0，故n=4 006.
2.1 解析：＝＝＝·＝1.
3.10 解析：∵ {an}为等差数列，∴ ＝an－1＋an＋1.又＝an－1＋an＋1，∴ ＝2an.
又an≠0，∴ an＝2，故{an}为常数数列.
而an＝，即2n－1＝＝19，∴ n＝10．
4.5 解析：是等差数列{an}的前项和，则 ∴ .
5.26 解析：∵ a3＋a5＝2a4，a7＋a13＝2a10，
∴ 6(a4＋a10)＝24，a4＋a10＝4，
∴ ＝＝＝＝26．
6.6 解析：分析可知，所以.因为抽取1项后余下的10项的平均值仍是5，所以抽取的是第6项.
7.54 解析：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由题意得
，联立以上两式解得a1=2，d=1，所以S9＝.
8.180 解析：由a1+a2+a3=－24，可得3a2=－24，即a2=－8；由a18+a19+a20=78，可得3a19=78，即a19=26.∴ S20==10(a2+a19)=10(－8+26)=180.
9.45 解析：可知、、成等差数列，
从而.
10.26 解析：设该等差数列为，由题意得，，
又∵ ，∴ ，∴ ，
∴ ，∴ .
二、解答题
11. 解：（1）因为所以所以
而，得，代入不等式组得
解得，故公差的取值范围为.
（2）.
∵ ，∴ 当最小时最大.而，∴ ，
∴ 当时，最大. ∴ 最大.
12.解：（1）设数列的公差为，
由题意得：解得或（舍去）.
所以.
（2），
由于是等差数列，故对一切自然数都成立，
即，
所以故或（舍去），所以.
13. 解：(1)a17=a1+16d，即－12=－60+16d，∴ d=3.∴ an=－60+3(n－1)=3n－63.
(2)由an≤0，得3n－63≤0，n≤21.∴ |a1|+|a2|+…+|a30|=－(a1+a2+…+a21)+(a22+a23+…+a30)=(3+6+9+…+60)+(3+6+…+27)=×20+×9=765.
14. (1)证明：由条件得2（）=，∴ 是等差数列，且公差为－.
(2)解：.当时，，当时，.
15.（1）证明：由，得(≥2)．
当≥2时，＝－＝－，
整理，得.
∵ 数列为正整数数列，∴
∴ ，即为等差数列．
(2)解：∵ ＝，∴ ＝.解得＝2.
∴ ＝2＋4(－1)＝－2.
∴ ＝－30＝(4－2)－30＝－31.
令0，得，
∴ 为前项和的最小值，即＝2(1＋2＋…＋15)－15×31＝－225.
16.解：(1)当＝1时，＝－14；
当≥2时，＝2－8，
故＝
(2)由＝2－8可知：当≤4时，≤0；当≥5时，.
∴ 当1≤≤4时，；
当≥5时，，
∴ ＝
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