阶段滚动检测(二)
(第一～四章)
(120分钟 150分)
第I卷(选择题 共40分)
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.(滚动单独考查)已知命题p:对任意的x∈R，有sinx≤1，则﹁p是( )
(A)存在x∈R，有sinx≥1
(B)对任意的x∈R，有sinx≥1
(C)存在x∈R，有sinx＞1
(D)对任意的x∈R，有sinx＞1
2.(2011·四川高考)复数-i+=( )
(A)-2i (B)i (C)0 (D)2i
3.若=(1,1), =(3,8), =(0,1),+ =(a,b),则a+b=( )
(A)-1 (B)0 (C)1 (D)2
4.过原点和复数1-i在复平面内对应点P的直线OP的倾斜角为( )
(A) (B) (C) (D)
5.已知tanα=，则的值是( )
(A) (B) (C) (D)
6. (2012·青岛模拟)已知非零向量、满足|+|=|-|且=，则与-的夹角为( )
(A) (B) (C) (D)
7.函数y=sin(2x+)图象的对称轴方程可能是( )
(A)x= (B)x= (C)x= (D)x=
8.(滚动单独考查)如图所示，单位圆中弧的长为x,
f(x)表示弧与弦AB所围成弓形的面积的2倍，则函数
y=f(x)的图象是( )
第Ⅱ卷(非选择题 共110分)
二、填空题(本大题共7小题，每小题5分，共35分.请把正确答案填在题中横线上)
9.(滚动单独考查)已知f()=，则f(x)的解析式为_________.
10.已知点O(0,0),A(2,1),B(-1,7)，，又⊥，且||=2，则Q点的坐标为_________.
11.在△ABC所在的平面上有一点P，满足，则△PBC与△ABC的面积之比是___________.
12.(2012·衢州模拟)在△ABC中，D在线段BC上， =2,=m+，则=______.
13.在200 m高的山顶上，测得山下一塔的塔顶与塔底的俯角分别是30°、
60°，则塔高为_____m.
14.已知α∈(0,π)，sinα+cosα=，则sinα-cosα=_______.
15.给出下列4个命题:
①非零向量，满足||=||=||，则与+的夹角为30°;
②“·＞0”是“，的夹角为锐角”的充要条件;
③将函数y=|x+1|的图象按向量=(-1,0)平移， 得到的图象对应的函数表达式为y=|x+2|;
④在△ABC中，若(+)·(-)=0,则△ABC为等腰三角形.
其中正确的命题是________.(注：把你认为正确的命题的序号都填上)
三、解答题(本大题共6小题，共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
16.(12分)已知函数f(x)=cos2x+sinxcosx (x∈R).
(1)求f()的值;
(2)求f(x)的单调递增区间.
17.(12分)(2012·哈尔滨模拟)在四边形ABCD中，||=12,||=5,||=10,
| +|=||,在方向上的投影为8.
(1)求∠BAD的正弦值;
(2)求△BCD的面积.
18.(12分)(2012·郑州模拟)在锐角△ABC中，已知内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足2sinB(-1)=.
(1)求B的大小;
(2)如果b=2，求△ABC的面积S△ABC的最大值.
19.(13分)如图所示，P是△ABC内一点，且满足++=，设Q为CP延长线与AB的交点，求证： =.
20.(13分)已知点F(1,0)，点P在y轴上运动，点M在x轴上运动，设P (0,b)，M(a,0)且，动点N满足.
(1)求点N的轨迹C的方程;
(2)F′为曲线C的准线与x轴的交点，过点F′的直线l交曲线C于不同的两点A、B，若D为AB的中点， 在x轴上存在一点E，使求的取值范围(O为坐标原点).
21.(13分)(滚动单独考查)函数f(x)=x3-(a+1)x+a,g(x)=xlnx.
(1)若y=f(x)，y=g(x)在x=1处的切线相互垂直，求这两个切线方程;
(2)若F(x)=f(x)-g(x)在定义域上单调递增，求a的取值范围.
答案解析
1.【解析】选C.“任意”的否定为“存在”；“≤”的否定为“＞”，故选C.
2.【解析】选A.-i+=-i+ =-i-i=-2i.故选A.
3.【解析】选A.∵+==-=(-1,0),
∴a=-1,b=0,∴a+b=-1.
4.【解析】选C.设倾斜角为α，如图所示,
易知α＝.
5.【解析】选C.tanα=,则tan2α=,
原式=.
6.【解析】选A.∵|+|=|-|,
∴+·+=-·+,∴·=0,
∴·(-)=·-==,
|-|==
==2||,
设与的夹角为θ，则cosθ===,又θ∈［0,π］,
∴θ=.
7.【解析】选D.令2x+=kπ+(k∈Z)，得x=+(k∈Z)，
令k=0得该函数的一条对称轴为x=.本题也可用代入验证法来解.
8.【解题指南】可根据f(x)递增速度的快慢解答.
【解析】选D.当弦AB未过圆心时，f(x)以递增速度增加，当弦AB过圆心后，f(x)以递减速度增加，易知D正确.
9.【解析】令t=，由此得x=,
所以f(t)=,
从而f(x)的解析式为f(x)=.
答案：f(x)=
10.【解题指南】设Q点的坐标为(x,y)，根据条件列出关于x、y的方程组.
【解析】=(2,1)+(3,-6)=(3,-1),
设Q点的坐标为(x,y)，则根据题意列方程组，解之得或.
答案：()或()
11.【解析】由,得=0,即=0,得=0,即2，所以点P是CA边上的一个三等分点，故
答案：
12.【解析】由题意=m+n,
又=+=+
=+=
∴m+=，
∴m=,n=,∴=.
答案：
13.【解析】如图所示，设塔高为h m.
由题意及图可知:
(200-h)·tan60°=.
解得:h=(m).
答案：
14.【解析】∵(sinα+cosα)2=1+2sinαcosα=,
∴2sinαcosα=,又α∈(0,π),∴sinα＞0，
∴cosα＜0，sinα-cosα＞0,
又(sinα-cosα)2=(sinα+cosα)2-4sinαcosα
=-2×()=.
∴sinα-cosα=.
答案：
15.【解析】①考虑向量和、差的平行四边形法则，不难判断结论正确；②当，的夹角为0°时，＞0也成立，结论错误；③由两个函数图象容易判断结论正确；④可得=,即AB=AC,正确.所以①③④正确.
答案：①③④
16.【解题指南】(1)在f(x)的表达式中有平方、有乘积，所以首先应该想到降幂.降幂可以用二倍角公式进行.
(2)f(x)=考虑到和角公式，需增辅助角.
【解析】f(x)==
==,
(1)f()=sinπ+=.
(2)令2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,
∴2kπ-≤2x≤2kπ+,k∈Z,
即kπ-≤x≤kπ+(k∈Z)时，f(x)单调递增.
∴f(x)的单调递增区间为［kπ-,kπ+］(k∈Z).
【方法技巧】解三角函数问题的变形技巧
(1)变角：对角的拆分要尽可能化成同名、同角、特殊角；(2)变名：尽可能减少函数名称；(3)变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等.在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形.
17.【解析】(1)∵||=||，
∴∠ADC=90°，
在Rt△ADC中，||=12，||=5,
∴||=13,cos∠DAC=,sin∠DAC=.
∵在方向上的投影为8，
∴||cos∠CAB=8,||=10,∴cos∠CAB=,
∵∠CAB∈(0,π),∴sin∠CAB=,
∴sin∠BAD=sin(∠DAC+∠CAB)=.
(2)S△ABC=||·||·sin∠BAC=39,
S△ACD=||·||=30,
S△ABD=||·||·sin∠BAD=,
∴S△BCD=S△ABC+S△ACD-S△ABD=.
18.【解析】(1)2sinB(2cos2-1)=
?2sinBcosB=?tan2B=,
∵0＜B＜,∴0＜2B＜π,∴2B=,∴B=.
(2)由(1)知B=
∵b=2，由余弦定理，得:4=a2+c2-ac≥2ac-ac=ac(当且仅当a=c=2时等号成立),
∵△ABC的面积S△ABC==≤,
∴△ABC面积的最大值为.
19.【证明】∵=,=,
∴=,
∴=,
又∵A，B，Q三点共线,C，P，Q三点共线,
故可设=,=μ,
∴=,
∴=.
而，为不共线向量,
∴.∴λ=-2,μ=-1.
∴==.故==.
20. 【解析】(1)P(0,b),M(a,0),设N(x,y),由 ①
由? ②
将②代入①得曲线C的轨迹方程为y2=4x.
(2)由(1)得点F′的坐标为(-1,0)，设直线l:y=k(x+1),代入y2=4x，得k2x2+2(k2-2)x+k2=0,由,设A(x1,y1),B(x2,y2),D(x0,y0),
则,y0=
∵故直线DE的方程为令y=0，得xE=1+ (0＜k2＜1)?xE＞3,即||的取值范围是(3,+∞).
【方法技巧】利用向量法解决解析几何问题
(1)利用向量法来解决解析几何问题，首先要将线段看成向量，求得向量坐标从而进行运算.
(2)平面向量在解析几何中的应用，是以解析几何中的坐标为背景的一种向量描述.它主要强调向量的坐标运算，将向量问题转化为坐标问题，进而利用直线和圆锥曲线的位置关系的相关知识来解答.
21.【解析】(1)f′(x)=3x2-(a+1),g′(x)=lnx+1,∴f′(1)=2-a,g′(1)=1,
∵两曲线在x=1处的切线互相垂直,∴(2-a)×1=-1,∴a=3,∴f′(1)=-1，f(1)=0,
∴y=f(x)在x=1处的切线方程为x+y-1=0.
同理，y=g(x)在x=1处的切线方程为x-y-1=0.
(2)由F(x)=x3-(a+1)x+a-xlnx
得F′(x)=3x2-(a+1)-lnx-1=3x2-lnx-a-2,
∵F(x)=f(x)-g(x)在定义域上单调递增,∴F′(x)≥０恒成立,即a≤3x2-lnx-2,令h(x)=3x2-lnx-2,h′(x)=6x-(x＞0)，令h′(x)＞０得x＞令h′(x)＜０得0＜x＜,∴h(x)min=h()=,
∴a的取值范围为(-∞, ］.
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