阶段滚动检测（五）
（第一～八章）
（120分钟 150分）
第I卷(选择题 共40分)
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.若双曲线的渐近线与圆(x-2)2+y2=3相切，则此双曲线的离心率
为( )
(A)1.5 (B)2 (C)3.5 (D)4
2.(滚动单独考查)(2012·西安模拟)等差数列{an}的前n项和为Sn，S3=6，a2+a4=0，则公差d为( )
(A)1 (B)-3 (C)-2 (D)3
3.已知双曲线(a＞0,b＞0)的一条渐近线为y=kx(k＞0),离心率e=k,则该双曲线方程为( )
4.设椭圆 (m>0，n>0)的焦点在抛物线y2=8x的准线上，离心率为，则椭圆的方程为( )
5．已知点P是抛物线y2=4x上的点，设点P到抛物线的准线的距离为d1,到圆(x+3)2+(y-3)2=1上一动点Q的距离为d2,则d1+d2的最小值为( )
(A)3 (B)4 (C)5 (D)3+1
6.(滚动单独考查)(2012·湛江模拟)等差数列{an}前17项和S17=51,则a5-a7+a9-a11+a13=( )
(A)3 (B)6 (C)17 (D)51
7.(滚动交汇考查)若点F1、F2分别为椭圆+y2=1的左、右焦点，P为椭圆上的点，若△PF1F2的面积为，则=( )
(A)0 (B) (C)－1 (D)
8.(滚动交汇考查)若直线ax-by+2=0(a>0，b>0)被圆x2+y2+2x-4y+1=0截得的弦长为4，则的最小值是( )
(A) (B)2＋3 (C)3 (D)
第Ⅱ卷(非选择题 共110分)
二、填空题(本大题共7小题，每小题5分，共35分.请把正确答案填在题中横线上)
9.(滚动单独考查)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若=3，则=________.
10.已知点P是抛物线y2=2x上的动点，点P到准线的距离为d，点A(，4)，则|PA|+d的最小值是_________.
11.已知F1、F2分别为双曲线 (a>0，b>0)的左、右焦点， M为双曲线上除顶点外的任意一点，且△F1MF2的内切圆交实轴于点N，则|F1N|·|NF2|的值为____________.
12. (滚动单独考查) 等差数列{an}的前n项和为Sn，且6S5-5S3=5，则a4=______.
13.(2012·烟台模拟)已知正方形一条边在直线y=x+4上，顶点A、B在抛物线y2=x上，则正方形的边长为______.
14. 若椭圆的离心率e=，则k的值为______．
15.已知双曲线(a>0，b>0)且满足若离心率为e，则e+的最大值为______．
三、解答题(本大题共6小题，共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
16.(12分)已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率为，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上有一点P，∠F1PF2=，且△PF1F2的面积为，求椭圆的方程．
17.(12分) (滚动单独考查)(2012·广州模拟)已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，且AB=，AF=1，M是线段EF的中点.
(1)求证：AM∥平面BDE；
(2)求二面角A-DF-B的大小;
(3)试在线段AC上确定一点P，使得PF与BC所成的角为60°.
18.(12分) (滚动单独考查)数列 {an}的各项均为正数，Sn是其前n项的和，对任意的n∈N*，总有an,Sn,an2成等差数列，又记
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列{bn}的前n项和Tn，并求使Tn>对n∈N*恒成立时最大的正整数m的值．
19.(13分) (2012·杭州模拟)设抛物线C1:x2=4y的焦点为F，曲线C2与C1关于原点对称.
(1)求曲线C2的方程；
(2)曲线C2上是否存在一点P(异于原点)，过点P作C1的两条切线PA，PB，切点为A，B，且满足|AB|是|FA|与|FB|的等差中项？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
20.(13分)如图，已知M(m,m2)，N(n,n2)是抛物线C：y=x2上两个不同点，且m2+n2=1，m+n≠0.直线l是线段MN的垂直平分线.设椭圆E的方程为 (a＞0，a≠2).
(1)当M，N在抛物线C上移动时，求直线l的斜率k的取值范围；
(2)已知直线l与抛物线C交于A，B两个不同的点，与椭圆E交于P，Q两个不同的点.设AB中点为R，PQ中点为S，若=0，求椭圆E的离心率的范围.
21.(13分)(2011· 浙江高考)已知抛物线C1:x2=y,圆C2:x2+(y-4)2=1的圆心为点M.
(1)求点M到抛物线C1的准线的距离；
(2)已知点P是抛物线C1上一点(异于原点)，过点P作圆C2的两条切线，交抛物线C1于A,B两点，若过M,P两点的直线l垂直于AB，求直线l的方程.
答案解析
1.【解析】选B．双曲线的渐近线方程为bx±ay=0.由题意得，圆心到渐近线的距离等于圆的半径，即整理得b=a，故故离心率e= =2.
2.【解析】选C.因为a2+a4=0，所以2a3=0，即a3=0，又因为所以a1=4，所以公差
3.【解析】选C．由已知得： a2+b2=c2，
∴a2=4b2，∴双曲线方程为
4.【解析】选B．抛物线的准线方程为x=-2，故椭圆的左焦点坐标为(-2，0)，显然椭圆的焦点在x轴上，且c=2.又因为离心率为，所以a=4，故b2=a2-c2=12.椭圆的方程为
5.【解析】选B.设抛物线的焦点为F，根据题设d1=|PF|,圆的圆心为M，则d1+d2的最小值是|MF|-1=-1=4.
6.【解析】选A.∵S17==51,
∴a1+a17=2a9=6,
∴a9=3,
∴a5-a7+a9-a11+a13=a9=3.
7.【解析】选D．不妨设点P(x，y)在第一象限，由题意，
得F1(-，0)，F2(，0)，
代入椭圆方程，得x=1，即点P的坐标为(1，)．
故
8.【解析】选A．圆的方程可化为(x+1)2+(y-2)2=4，其圆心C(-1，2)，半径r=2，由弦长为4可知圆心在直线上，即-a-2b+2=0，即a+2b=2，而
当且仅当时取等号，即 时取等号．
9.【解题指南】求解本题时不必求解q的值，可仔细观察S3与S6、S3与S9的关系，进而求q3，可简化求解过程.
【解析】设公比为q ,则 q3＝2,
于是
答案：
10.【解析】设抛物线y2=2x的焦点为F，则F(，0)．又点A(，4) 在抛物线的外侧，且点P到准线的距离为d，所以d=|PF|，则|PA|+d≥|AF|=5.
答案：5
11.【解析】选A．由已知，得|MF1|-|MF2|=±2a，作图，易知|F1N|-|NF2|=±2a，又|F1N|+|NF2|=2c，
∴|F1N|·|NF2|=
答案：b2
12.【解析】设公差为d,∵Sn＝na1＋n(n－1)d,
∴S5＝5a1＋10d,S3＝3a1＋3d,
∴6S5－5S3＝30a1＋60d－(15a1＋15d)＝15a1＋45d＝15(a1＋3d)＝15a4=5,
∴a4=.
答案：
13.【解析】设正方形的另一边所在的直线方程为y=x+m，该直线与抛物线y2=x交于A、B两点.
∴(x+m)2=x?x2+(2m-1)x+m2=0，
且(2m-1)2-4m2＞0，
即m＜,设A(x1,y1),B(x2,y2)，
∴x1+x2=1-2m,x1x2=m2.
∴|AB|=
即∴m=-2或-6，
∴|AB|=
答案：
14.【解析】①若焦点在x轴上，即k+8>9时，a2=k+8，b2=9，
解得k=4.
②若焦点在y轴上，即0b>0)，
F1(-c，0)、F2(c，0).
因为点P在椭圆上，所以|PF1|+|PF2|=2a.
在△PF1F2中，由余弦定理，得
|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos
=(|PF1|+|PF2|)2-3|PF1||PF2|，
即4c2=4a2-3|PF1|·|PF2|.
又因所以|PF1|·|PF2|sin =，得|PF1|·|PF2|
所以4c2=4a2-36，得b2=9，即b=3.
又e=，故a2=b2=25.
所以所求椭圆的方程为
17.【解析】方法一：(1)记AC与BD的交点为O，连接OE.
∵O、M分别是AC、EF的中点，四边形ACEF是矩形,
∴四边形AOEM是平行四边形,
∴AM∥OE,
∵OE?平面BDE，AM平面BDE,
∴AM∥平面BDE.
(2)在平面AFD中过A作AS⊥DF于S，连接BS,
由题易知AB⊥AF，又AB⊥AD，AD∩AF=A,
∴AB⊥平面ADF,
∴AS是BS在平面ADF上的射影.
∴BS⊥DF,
∴∠BSA是二面角A-DF-B的平面角.
在Rt△ASB中，
∴tan∠ASB=，∠ASB=60°，
即二面角A-DF-B的大小为60°.
(3)设CP=t(0≤t≤2)，作PQ⊥AB于Q，连接PF、QF，
则PQ∥BC，则∠FPQ为PF与BC所成的角(或其补角)，
∵PQ⊥AB，易知PQ⊥AF，AB∩AF=A，
∴PQ⊥平面ABF，QF?平面ABF，
∴PQ⊥QF，
在Rt△PQF中，∠FPQ=60°，PF=2PQ，
∵△PAQ为等腰直角三角形，
∴PQ=(2-t)，又∵△PAF为直角三角形,
∴PF=
∴=2·(2-t),
∴t=1或t=3(舍去),
即点P是AC的中点时，满足题意.
方法二：(1)建立如图所示的空间直角坐标系，
设AC∩BD=N，连接NE,
则点N、E、F的坐标分别是(0)、(0，0，1)、(1)
∴=(1)，
=(1)，
又点A、M的坐标分别是(0)、(1),
∴=(1),
∴且NE与AM不共线，
∴NE∥AM,
又NE?平面BDE，AM平面BDE,
∴AM∥平面BDE.
(2)由题易知AF⊥AB，又AB⊥AD，AF∩AD=A,
∴AB⊥平面ADF,
∴=(-，0，0)为平面DAF的一个法向量,
∵=(1)·(-，，0)=0，
又∵=(，，1)·(1)=0
得
∴为平面BDF的一个法向量,
又cos〈〉=，
∴的夹角是60°.
即所求二面角A-DF-B的大小是60°.
(3)设P(t，t，0)(0≤t≤)得： =(-t，-t，1)
∵=(0，-，0),所成的角是60°,
∴cos60°=
解得t=或t=(舍去).
即点P是AC的中点时满足题意.
18.【解析】(1)∵an，Sn，an2成等差数列，∴2Sn=an+an2 ①
当n≥2时，2Sn-1=an-1+an-12 ②
由①-②得：2(Sn-Sn-1)=an+an 2-(an-1+an-12)，
即2an=an+an2-an-1-an-12，
∴(an+an-1)(an-an-1-1)=0.
又数列{an}的各项均为正数，∴an-an-1=1.
当n=1时，由①得2a1=a1+a12，即a1(a1-1)=0
∵an>0，∴a1=1.
于是，数列{an}是首项a1=1，公差d=1的等差数列，
∴an=1+(n-1)×1=n，
即数列{an}的通项公式为an=n(n∈N*).
(2)由(1)知，an=n(n∈N*).
又Tn>0，∴Tn0(n∈N*)，公比q∈(0,1),且a1a5+2a3a5+a2a8
=25,又a3与a5的等比中项为2.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn=log2an，求数列{bn}的前n项和Sn；
(3)是否存在k∈N*，使得0,∴a3+a5=5,
又a3与a5的等比中项为2，
∴a3a5=4,而q∈(0,1),
∴a3>a5,∴a3=4,a5=1,
∴q=,a1=16,∴an=16×()n-1=25-n.
(2)∵bn=log2an=5-n,∴bn+1-bn=-1,
b1=log2a1=log216=log224=4,
∴{bn}是以b1=4为首项，d=-1为公差的等差数列，
∴
(3)由(2)知,∴当n≤8时, >0;
当n=9时, =0;
当n>9时, <0.
∴当n=8或9时，有最大值，且最大值为18.
故存在k∈N*，使得
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