2014高考数学(文) 小专题突破精练：解三角形的应用举例
1．(2013茂名一模)某人向东方向走了千米，然后向右转，再朝新方向走了千米，结果他离出发点恰好千米，那么的值是 ．
【答案】
【解析】由余弦定理：，
整理得：，解得．
2．如图，两座灯塔和与海洋观察站的距离都是千米，灯塔在的北偏东方向，灯塔在的南偏东方向，则灯塔与灯塔的距离为______千米．
【答案】
【解析】，，
∴
．
3．如图，位于处的信息中心获悉：在其正东方向相距海里的处有一艘渔船遇险，在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西、相距海里的处的乙船，现乙船朝北偏东的方向沿直线CB前往处救援，求的值。
【解析】在中，，
由余弦定理知
，
∴
由正弦定理，
．
∵，则为锐角，．
∴
．
4．（2013银川一中）如图，一人在地看到建筑物在正北方向，另一建筑物在北偏西方向，此人向北偏西方向前进到达，看到在他的北偏东方向，在其的北偏东方向，试求这两座建筑物之间的距离．
【解析】依题意得，，
，
，，．
在中，由正弦定理可得，
，
在中，由正弦定理可得，
，
在中，由余弦定理可得
，
∴．
答：这两座建筑物之间的距离为．
5．如图，、、、都在同一个与水平面垂直的平面内，、为两岛上的两座灯塔的塔顶．测量船于水面处测得点和点的仰角分别为，，于水面处测得点和点的仰角均为，．试探究图中,间距离与另外哪两点间距离相等，然后求,的距离（计算结果精确到，，）．
【解析】在中，，∴ ，
又，
故是底边的中垂线，∴，
在中，
即
因此，，
故的距离约为．
6．（2013黄浦质检）如图，一船在海上由西向东航行，在处测得某岛的方位角为北偏东角，前进后在处测得该岛的方位角为北偏东角，已知该岛周围范围内有暗礁，现该船继续东行．
（1）若，问该船有无触礁危险？如果没有，请说明理由；如果有，那么该船自处向东航行多少距离会有触礁危险？
（2）当与满足什么条件时，该船没有触礁危险？
【解析】（1）如图，作，垂足为，
由已知，，
∴，，
∴，，
∴，
∴该船有触礁的危险．
设该船自向东航行至点有触礁危险，则，
在△中，，，，
在△中，，
∴ （）．
∴该船自向东航行会有触礁危险．
（2）设，
在△中，，
即，，
而，
∴ 当，，
∴时，该船没有触礁危险．
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