小题专项集训?十二? 计数原理、统计与概率
(建议用时：40分钟 分值：75分)
1．某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有 ( )．
A．30种 B．35种
C．42种 D．48种
解析 法一 可分两种互斥情况：A类选1门，B类选2门或A类选2门，B类选1门，共有CC＋CC＝18＋12＝30种选法．
法二 总共有C＝35(种)选法，减去只选A类的C＝1(种)，再减去只选B类的C＝4(种)，故有30种选法．
答案 A
2．某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本中的青年职工为7人，则样本容量为 ( )．
A．7 B．15
C．25 D．35
解析 由题意知，青年职工人数∶中年职工人数∶老年职工人数＝350∶250∶150＝7∶5∶3.由样本中青年职工为7人得样本容量为15.
答案 B
3．在一次教师联欢会上，到会的女教师比男教师多12人，从到会教师中随机挑选一人表演节目．如果每位教师被选中的概率相等，而且选中男教师的概率为，那么参加这次联欢会的教师共有 ( )．
A．360人 B．240人
C．144人 D．120人
解析 设男教师有x人，则女教师有(x＋12)人，由选中男教师的概率为，所以＝，解得x＝54，所以男教师为54人，女教师为66人，故参加这次联欢会的教师共有120人．
答案 D
4．同时随机掷两颗骰子，则至少有一颗骰子向上的点数小于4的概率为
( )．
A. B.
C. D.
解析 共有36种情况，其中至少有一颗骰子向上的点数小于4有27种情况，所以所求概率为＝.
答案 D
5．已知n展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n等于 ( )．
A．4 B．5
C．6 D．7
解析 令x＝1可得二项式n展开式的各项系数和为4n，又其各项二项式系数的和为2n，所以＝2n＝64＝26，解之得n＝6，故应选C.
答案 C
6．样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3.若该样本的平均值为1，则样本方差为 ( )．
A. B.
C. D．2
解析 由题可知样本的平均值为1，所以＝1，解得a＝－1，所以样本的方差为[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2]＝2.
答案 D
7．(2013·金华模拟)从1,2,3,4,5,6六个数中任取2个数，则取出的两个数不是连续自然数的概率是 ( )．
A. B.
C. D.
解析 取出的两个数是连续自然数有5种情况，则取出的两个数不是连续自然数的概率P＝1－＝.
答案 D
8．某工厂对一批产品进行了抽样检测，如图是根据抽样检测后的产品净重(单位：克)数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96,106]，样本数据分组为[96,98)，[98,100)，[100,102)，[102,104)，[104,106]，已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是 ( )．
A．90 B．75
C．60 D．45
解析 产品净重小于100克的频率为(0.050＋0.100)×2＝0.300，设样本容量为n，则＝0.300，所以n＝120，净重大于或等于98克并且小于104克的产品的频率为(0.100＋0.150＋0.125)×2＝0.75，所以样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是120×0.75＝90.
答案 A
9．先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1,2,3,4,5,6)，骰子朝上的面的点数分别为x，y，则满足log2xy＝1的概率为 ( )．
A. B.
C. D.
解析 由log2xy＝1，得2x＝y.又x∈{1,2,3,4,5,6}，y∈{1,2,3，4,5,6}，所以满足题意的有x＝1，y＝2或x＝2，y＝4或x＝3，y＝6，共3种情况．所以所求的概率为＝，故选C.
答案 C
10．甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人的测试成绩如下表：
甲的成绩
环数
7
8
9
10
频数
5
5
5
5
乙的成绩
环数
7
8
9
10
频数
6
4
4
6
丙的成绩
环数
7
8
9
10
频数
4
6
6
4
s1，s2，s3分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有
( )．
A．s3＞s1＞s2 B．s2＞s1＞s3
C．s1＞s2＞s3 D．s2＞s3＞s1
解析 ∵甲＝＝8.5，
s＝
＝1.25，乙＝＝8.5，
s＝
＝1.45，丙＝＝8.5，
s＝
＝1.05.由s＞s＞s，得s2＞s1＞s3.
答案 B
11．甲射击命中目标的概率是，乙射击命中目标的概率是，丙射击命中目标的概率是，现在三人同时射击同一目标，目标被命中的概率为________．
解析 设A、B、C分别表示甲、乙、丙射击命中目标，则P( )＝P()·P()·P()＝[1－P(A)][1－P(B)]·[1－P(C)]＝××＝.所以，目标被命中的概率为：P＝1－P( )＝1－＝.
答案
12．抛掷一粒骰子，观察掷出的点数，设事件A为出现奇数点，事件B为出现2点，已知P(A)＝，P(B)＝，则出现奇数点或2点的概率为________．
解析 由题意，知“出现奇数点”的概率是事件A的概率，“出现2点”的概率是事件B的概率，则“出现奇数点或2点”的概率为P(A)＋P(B)＝＋＝.
答案
13．现有5根竹竿，它们的长度(单位：m)分别为：2.5,2.6,2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3 m的概率为________．
解析 从5根竹竿中，一次随机抽取2根竹竿的方法数为＝10(个)．而满足它们的长度恰好相差0.3 m的方法数为2个，即2.5和2.8,2.6和2.9.由古典概型的求法得P＝＝.
答案
14．(2012·浙江)从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中，随机(等可能)取两点，则该两点间的距离为的概率是________．
解析 设此正方形为ABCD，中心为O，则任取两个点的取法有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(B，C)，(B，D)，(C，D)，(A，O)，(B，O)，(C，O)，(D，O)，共10种；取出的两点间的距离为的取法有(O，A)，(O，B)，(O，C)，(O，D)，共4种，故所求概率为＝.
答案
15．(2010·北京)从某小学随机抽取100名学生，将他们的身高(单位：厘米)数据绘制成频率分布直方图(如图)．由图中数据可知a＝________.若要从身高在[120,130)，[130,140)，[140,150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140,150]内的学生中选取的人数应为________．
解析 ∵小矩形的面积等于频率，∴除[120,130)外的频率和为0.700，∴a＝＝0.030.由题意知，身高在[120,130)，[130,140)，[140,150]的学生分别为30人，20人，10人，∴由分层抽样可知抽样比为＝，∴在[140,150]中选取的学生应为3人．
答案 0.030 3
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