小题专项集训(三) 函数图象、函数与方程、导数
(建议用时：40分钟 分值：75分)
1．(2013·北京海淀期中)在同一坐标系中画出函数y＝logax，y＝ax，y＝x＋a的图象，可能正确的是 ( )．
解析 当a>1时，三个函数y＝logax，y＝ax，y＝x＋a均为增函数，则排除B，C.又由直线y＝x＋a在y轴上的截距a>1可得仅D的图象正确，故应选D.
答案 D
2.(2012·合肥质检)函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝f′(x)的图象可能是 ( )．
解析 据函数的图象易知，x<0时恒有f′(x)>0，当x>0时恒有f′(x)<0，只有D选项符合条件．
答案 D
3．函数f(x)＝x＋2cos x在上取得最大值时x的值为 ( )．
A．0 B.
C. D.
解析 由f′(x)＝1－2sin x＝0，得x＝，所以f＝＋.又f(0)＝2，f＝，所以f为最大值，故选B.
答案 B
4．(2013·厦门质检)已知f(x)＝则函数g(x)＝f(x)－ex的零点个数为 ( )．
A．1 B．2
C．3 D．4
解析 在同一平面直角坐标系中画出函数y＝f(x)与y＝ex的图象，结合图形可知，它们有两个公共点，因此函数g(x)＝f(x)－ex的零点个数是2，选B.
答案 B
5．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－x－1在(－∞，＋∞)上是单调函数，则实数a的取值范围是 ( )．
A．(－∞，－]∪[，＋∞) B．[－，]
C．(－∞，－)∪(，＋∞) D．(－，)
解析 f′(x)＝－3x2＋2ax－1≤0在(－∞，＋∞)上恒成立，故Δ＝4a2－12≤0，解得－≤a≤.
答案 B
6．(2013·潍坊模拟)若曲线f(x)＝x·sin x＋1在x＝处的切线与直线ax＋2y＋1＝0互相垂直，则实数a等于 ( )．
A．－2 B．－1
C．1 D．2
解析 据已知可得f′(x)＝sin x＋xcos x，故f′＝1，故由两直线的位置关系可得－×1＝－1，解得a＝2.
答案 D
7．(2011·北京)某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品
( )．
A．60件 B．80件
C．100件 D．120件
解析 若每批生产x件产品，则每件产品的生产准备费用是，存储费用是，总的费用是＋≥2 ＝20，当且仅当＝时取等号，即x＝80.
答案 B
8．(2012·天津河西区质量调查)函数y＝f(x)在定义域R内可导，若f(x)＝f(2－x)，且当x∈(－∞，1)时，(x－1)f′(x)<0.设a＝f(0)，b＝f(0.5)，c＝f(3)，则( )．
A．a0，即函数在区间(－∞，1)上为增函数，故c＝f(3)＝f(－1)f D．?x∈[0，π]，f(x)≤f
解析 注意到f′(x)＝cos x－，当x∈时，f′(x)>0；当x∈时，f′(x)<0，因此函数f(x)在上是增函数，在上是减函数，f(x)在[0，π]内的最大值是f，即?x∈[0，π]，都有f(x)≤f，因此D正确．
答案 D
10．(2013·金华十校模考)已知函数f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值，若m，n∈[－1,1]，则f(m)＋f′(n)的最小值是 ( )．
A．－13 B．－15
C．10 D．15
解析 求导，得f′(x)＝－3x2＋2ax，由f(x)在x＝2处取得极值知f′(2)＝0，即－3×4＋2a×2＝0，∴a＝3.由此可得f(x)＝－x3＋3x2－4，f′(x)＝－3x2＋6x＝－3x(x－2)．由此可得f(x)在(－1,0)上单调递减，在(0,1)上单调递增，∴当m∈[－1,1]时，f(m)min＝f(0)＝－4.又f′(x)＝－3x2＋6x的图象开口向下，且对称轴为x＝1，∴当n∈[－1,1]时，f′(n)min＝f′(－1)＝－9.于是，f(m)＋f′(n)的最小值为－13.故选A.
答案 A
11．(2012·浙江名校联考)设P为曲线C：y＝ex上的点，若曲线C在点P处的切线不经过第四象限，则该切线的斜率的取值范围是________．
解析 设点P的坐标为(x0，ex0)，则k＝y′|x＝x0＝ex0>0，临界位置为过原点的切线，此时斜率取最大值，有＝ex0，所以x0＝1，则kmax＝e，故k∈(0，e]．
答案 (0，e]
12．(2013·杭州质检)若曲线C：y＝ax＋ln x存在斜率为1的切线，则实数a的取值范围是________．
解析 ∵切线斜率k＝a＋＝1(x>0)，
∴a＝1－(x>0)，由此可得a<1.
答案 (－∞，1)
13．(2012·温州五校联考)函数f(x)＝x3－x2－3x－1的图象与x轴的交点个数是________．
解析 f′(x)＝x2－2x－3＝(x＋1)(x－3)，函数在(－∞，－1)和(3，＋∞)上是增函数，在(－1,3)上是减函数，由f(x)极小值＝f(3)＝－10<0，f(x)极大值＝f(－1)＝>0知函数f(x)的图象与x轴的交点个数为3.
答案 3
14．(2012·山西四校联考)已知函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，且f(x)是偶函数，当x∈[0,1]时，f(x)＝x2.若在区间[－1,3]内，函数g(x)＝f(x)－kx－k有4个零点，则实数k的取值范围为________．
解析 依题意得f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，即函数f(x)是以2为周期的函数．g(x)＝f(x)－kx－k在区间[－1,3]内有4个零点，即函数y＝f(x)与y＝k(x＋1)的图象在区间[－1,3]内有4个不同的交点．在坐标平面内画出函数y＝f(x)的图象(如图所示)，注意到直线y＝k(x＋1)恒过点(－1,0)，由题及图象可知，当k∈时，相应的直线与函数y＝f(x)在区间[－1,3]内有4个不同的交点，故实数k的取值范围是.
答案
15．(2013·湖南部分重点中学联考)已知函数f(x)的导数f′(x)＝a(x＋1)(x－a)，若f(x)在x＝a处取得极大值，则a的取值范围是________．
解析 若a＝0，则f′(x)＝0，函数f(x)不存在极值；若a＝－1，则f′(x)＝－(x＋1)2≤0，函数f(x)不存在极值；若a>0，当x∈(－1，a)时，f′(x)<0，当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，所以函数f(x)在x＝a处取得极小值；若－10，当x∈(a，＋∞)时，f′(x)<0，所以函数f(x)在x＝a处取得极大值；若a<－1，当x∈(－∞，a)时，f′(x)<0，当x∈(a，－1)时，f′(x)>0，所以函数f(x)在x＝a处取得极小值．所以a∈(－1,0)．
答案 (－1,0)
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