小题专项集训?五? 平面向量
(建议用时：40分钟 分值：75分)
1．(2013·西宁模拟)对于向量a，b，c和实数λ，下列命题中的真命题是( )．
A．若a·b＝0，则a＝0或b＝0
B．若λa＝0，则λ＝0或a＝0
C．若a2＝b2，则a＝b或a＝－b
D．若a·b＝a·c，则b＝c
解析 当向量a，b的夹角为直角时，满足a·b＝0，但不一定有a＝0或b＝0，故A不正确；当a2＝b2时，有(a＋b)·(a－b)＝0，但不一定a＝b或a＝－b，故C不正确；D中向量的数量积不能同时约去一个向量．综上，B正确．
答案 B
2．(2012·伽师二中二模)已知向量a＝(1,1)，b＝(2，x)．若a＋b与a－b平行，则实数x的值是 ( )．
A．－2 B．0
C．1 D．2
解析 由a＝(1,1)，b＝(2，x)，知a＋b＝(3,1＋x)；a－b＝(－1,1－x)；若a＋b与a－b平行，则3(1－x)＋(1＋x)＝0，即x＝2，故选D.
答案 D
3.(2013·武汉期末)如图所示，已知＝2，＝a，＝b，＝c，则下列等式中成立的是 ( )．
A．c＝b－a B．c＝2b－a
C．c＝2a－b D．c＝a－b
解析 由＝2B，得＋＝2(＋)，即2O＝－O＋3O，即c＝b－a.
答案 A
4．若向量a与b不共线，且a·b≠0，且c＝a－b，则向量a与c的夹角为
( )．
A．0 B.
C. D.
解析 因为c＝a－b，则有a·c＝a·＝|a|2－a·b＝0.
故两向量垂直，其夹角为.
答案 D
5．(2012·开封二模)在△ABC中，已知D是AB边上一点，若＝2D，＝C＋λC，则λ＝ ( )．
A．－ B．－
C. D.
解析 如图所示，其中D，E分别是AB和AC的三等分点，以EC和ED为邻边作平行四边形，得＝＋＝＋，∴＝.故λ＝，所以选D.
答案 D
6．(2013·济南模拟)已知向量a＝(1，－1)，b＝(1,2)，向量c满足(c＋b)⊥a，(c－a)∥b，则c＝ ( )．
A．(2,1) B．(1,0)
C. D．(0，－1)
解析 设c＝(x，y)，则c＋b＝(x＋1，y＋2)，c－a＝(x－1，y＋1)，
∴解得x＝2，y＝1.
∴c＝(2,1)．
答案 A
7．(2012·长沙质检)设A，B，C是圆x2＋y2＝1上不同的三个点，O为圆心，且·＝0，存在实数λ，μ使得＝λO＋μO，实数λ，μ的关系为
( )．
A．λ2＋μ2＝1 B.＋＝1
C．λ·μ＝1 D．λ＋μ＝1
解析 由＝λO＋μO，得||2＝(λO＋μO)2＝λ2||2＋μ2||2＋2λμO·O.因为·＝0，所以λ2＋μ2＝1.所以选A.
答案 A
8．设向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，其中0<α<β<π，若|2a＋b|＝|a－2b|，则β－α＝ ( )．
A. B．－
C. D．－
解析 由|2a＋b|＝|a－2b|两边平方整理，得
3|a|2－3|b|2＋8a·b＝0.
∵|a|＝|b|＝1，故a·b＝0，∴cos αcosβ＋sin αsin β＝0，
即cos(α－β)＝0，∵0<α<β<π，故－π<α－β<0，
∴α－β＝－，即β－α＝.
答案 A
9．(2011·辽宁)若a，b，c均为单位向量，且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，则|a＋b－c|的最大值为( )．
A.－1 B．1
C. D．2
解析 由已知条件，向量a，b，c都是单位向量可以求出，a2＝1，b2＝1，c2＝1，由a·b＝0，及(a－c)·(b－c)≤0，可以知道，(a＋b)·c≥c2＝1，因为|a＋b－c|2＝a2＋b2＋c2＋2a·b－2a·c－2b·c，所以有|a＋b－c|2＝3－2(a·c＋b·c)≤1，则|a＋b－c|≤1.故选B.
答案 B
10．(2013·北京东城区期末)已知△ABD是等边三角形，且＋＝，||＝，那么四边形ABCD的面积为( )．
A. B.
C．3 D.
解析 如图所示，＝－＝－，∴2＝2，
即3＝A2＋2－·，
∵||＝||，
∴||2－||||cos 60°＝3，∴||＝2.
又＝－＝A，∴||＝||＝1，
∴||2＋||2＝||2，∴BC⊥CD.
∴S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BCD＝×22×sin 60°＋×1×＝，故选B.
答案 B
11．已知向量a，b是两个不共线的向量，且向量ma－3b与a＋(2－m)b共线，则实数m的值为________．
解析 由题意知ma－3b＝λ[a＋(2－m)b]，
∴解得m＝－1或m＝3.
答案 －1或3
12．(2013·江西红色六校联考)已知向量a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝ka＋b，d＝a－2b.如果c∥d，则k＝________.
解析 由题意可得c＝k(1,0)＋(0,1)＝(k,1)，d＝(1,0)－2(0,1)＝(1，－2)，如果c∥d，那么－2k－1＝0，即k＝－.
答案 －
13．(2012·安徽)设向量a＝(1,2m)，b＝(m＋1,1)，c＝(2，m)．若(a＋c)⊥b，则|a|＝________.
解析 ∵a＋c＝(3,3m)，∴(a＋c)·b＝3(m＋1)＋3m＝0?m＝－?|a|＝.
答案
14．已知向量n＝(1，sin 2x)，g(x)＝n2.则函数g(x)的最小正周期是________．
解析 g(x)＝n2＝1＋sin22x＝1＋＝－cos 4x＋，∴函数g(x)的最小正周期T＝＝.
答案
15．(2013·烟台调研)已知P是边长为2的正三角形ABC的边BC上的动点，则·(＋)＝________.
解析 如图，作平行四边形ABDC，则＋＝＝2A，又△ABC为等边三角形，∴四边形ABDC为菱形，BC⊥AO，∴在向量上的投影为，又||＝，∴·(＋)＝||·||＝6.
答案 6
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