1.2命题及其关系、充分条件与必要条件
一、选择题
1．设集合A＝{x∈R|x－2＞0}，B＝{x∈R|x＜0}，C＝{x∈R|x(x－2)＞0}，则“x∈A∪B”是“x∈C”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：A∪B＝{x∈R|x＜0或x＞2}，C＝{x∈R|x＜0或x＞2}，
∵A∪B＝C，∴x∈A∪B是x∈C的充分必要条件．
答案：C
2．已知命题p：?n∈N,2n＞1 000，则綈p为( )．
A．?n∈N,2n≤1 000 B．?n∈N,2n＞1 000
C．?n∈N,2n≤1 000 D．?n∈N,2n＜1 000
解析 特称命题的否定是全称命题．即p：?x∈M，p(x)，则綈p：?x∈M，綈p(x)．故选A.
答案 A
3．命题“若－1＜x＜1，则x2＜1”的逆否命题是( )
A．若x≥1或x≤－1，则x2≥1
B．若x2<1，则－11，则x>1或x<－1
D．若x2≥1，则x≥1或x≤－1
解析：若原命题是“若p，则q”，则逆否命题为“若綈q则綈p”，故此命题的逆否命题是“若x2≥1，则x≥1或x≤－1”．
答案：D
4．已知α，β角的终边均在第一象限，则“α＞β”是“sin α＞sin β”的( )．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析 (特例法)当α＞β时，令α＝390°，β＝60°，则sin 390°＝sin 30°＝＜sin 60°＝，故sin α＞sin β不成立；当sin α＞sin β时，令α＝60°，β＝390°满足上式，此时α＜β，故“α＞β”是“sin α＞sin β”的既不充分也不必要条件．
答案 D
【点评】 本题采用了特例法，所谓特例法，就是用特殊值?特殊图形、特殊位置?代替题设普遍条件，得出特殊结论，对各个选项进行检验，从而作出正确的判断.特例法的理论依据是：命题的一般性结论为真的先决条件是它的特殊情况为真，即普通性寓于特殊性之中.常用的特例有取特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等.这种方法实际是一种“小题小做”的解题策略，对解答某些选择题有时往往十分奏效.
5．命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是( )
A．若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数
B．若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数
C．若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数
D．若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数
解析：否命题是既否定题设又否定结论．
答案：B
6．设集合M＝{1,2}，N＝{a2}，则“a＝1”是“N?M”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分又不必要条件
解析：当a＝1时，N＝{1}，此时有N?M，则条件具有充分性；当N?M时，有a2＝1或a2＝2得到a1＝1，a2＝－1，a3＝，a4＝－，故不具有必要性，所以“a＝1”是“N?M”的充分不必要条件．
答案：A
7．若实数a，b满足a≥0，b≥0，且ab＝0，则称a与b互补．记φ(a，b)＝－a－b，那么φ(a，b)＝0是a与b互补的( )．
A．必要而不充分的条件 B．充分而不必要的条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要的条件
解析 若φ(a，b)＝0，即＝a＋b，两边平方得ab＝0，故具备充分性．若a≥0，b≥0，ab＝0，则不妨设a＝0.φ(a，b)＝－a－b＝－b＝0.故具备必要性．故选C.
答案 C
二、填空题
8.若不等式成立的充分不必要条件是，则实数的取值范围是______
答案：
9．有三个命题：(1)“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；
(2)“若a＞b，则a2＞b2”的逆否命题；
(3)“若x≤－3，则x2＋x－6＞0”的否命题．
其中真命题的个数为________(填序号)．
解析 (1)真，(2)原命题假，所以逆否命题也假，(3)易判断原命题的逆命题假，则原命题的否命题假．
答案 1
10．定义：若对定义域D上的任意实数x都有f(x)＝0，则称函数f(x)为D上的零函数．
根据以上定义，“f(x)是D上的零函数或g(x)是D上的零函数”为“f(x)与g(x)的积函数是D上的零函数”的________条件．
解析 设D＝(－1,1)，f(x)＝
g(x)＝显然F(x)＝f(x)·g(x)是定义域D上的零函数，但f(x)与g(x)都不是D上的零函数．
答案 充分不必要
11．p：“向量a与向量b的夹角θ为锐角”是q：“a·b>0”的________条件．
解析：若向量a与向量b的夹角θ为锐角，则cos θ＝>0，即a·b>0；由a·b>0可得cos θ＝>0，故θ为锐角或θ＝0°，故p是q的充分不必要条件．
答案：充分不必要
12．已知a与b均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题
p1：|a＋b|＞1?θ∈
p2：|a＋b|＞1?θ∈
p3：|a－b|＞1?θ∈
p4：|a－b|＞1?θ∈
其中真命题的个数是____________．
解析 由|a＋b|＞1可得a2＋2a·b＋b2＞1，因为|a|＝1，|b|＝1，所以a·b＞－，故θ∈.当θ∈时，a·b＞－，|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＞1，即|a＋b|＞1，故p1正确．由|a－b|＞1可得a2－2a·b＋b2＞1，因为|a|＝1，|b|＝1，所以a·b＜，故θ∈，反之也成立，p4正确．
答案 2
三、解答题
13.设：函数在区间（4，+∞）上单调递增；，如果“”是真命题，“或”也是真命题，求实数的取值范围。
解析：在区间（4，+∞）上递增，
在（4，+∞）上递增，故 …………（3分）
由 …………（6分）
如果“”为真命题，则为假命题，即 …………（8分）
又因为为真，则为真，即
由可得实数的取值范围是 …………（12分）
14．已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a、b∈R，对命题“若a＋b≥0，则f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)”．
(1)写出其逆命题，判断其真假，并证明你的结论；
(2)写出其逆否命题，判断其真假，并证明你的结论．
解 (1)逆命题是：若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，
则a＋b≥0为真命题．
用反证法证明：假设a＋b＜0，则a＜－b，b＜－a.
∵f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，
则f(a)＜f(－b)，f(b)＜f(－a)，
∴f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)，这与题设相矛盾，所以逆命题为真．
(2)逆否命题：若f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)，
则a＋b＜0为真命题．
因为原命题?它的逆否命题，所以证明原命题为真命题即可．
∵a＋b≥0, ∴a≥－b，b≥－a.
又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，
∴f(a)≥f(－b)，f(b)≥f(－a)，
∴f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．
所以逆否命题为真．
15．判断命题“若a≥0，则x2＋x－a＝0有实根”的逆否命题的真假．
解 法一 写出逆否命题，再判断其真假．
原命题：若a≥0，则x2＋x－a＝0有实根．
逆否命题：若x2＋x－a＝0无实根，则a＜0.
判断如下：
∵x2＋x－a＝0无实根，
∴Δ＝1＋4a＜0，∴a＜－＜0，
∴“若x2＋x－a＝0无实根，则a＜0”为真命题．
法二 利用原命题与逆否命题同真同假(即等价关系)判断
∵a≥0，∴4a≥0，∴4a＋1＞0，
∴方程x2＋x－a＝0的判别式Δ＝4a＋1＞0，
∴方程x2＋x－a＝0有实根，
故原命题“若a≥0，则x2＋x－a＝0有实根”为真．
又∵原命题与其逆否命题等价，
∴“若a≥0，则x2＋x－a＝0有实根”的逆否命题为真命题．
法三 利用充要条件与集合关系判断．
命题p：a≥0，q：x2＋x－a＝0有实根，
∴p：A＝{a∈R|a≥0}，
q：B＝{a∈R|方程x2＋x－a＝0有实根}＝.
即A?B，∴“若p，则q”为真，
∴“若p，则q”的逆否命题“若綈q，则綈p”为真．
∴“若a≥0，则x2＋x－a＝0有实根”的逆否命题为真．
16．设p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，其中a≠0，q：实数x满足
(1)若a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；
(2)若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
解：(1)由x2－4ax＋3a2<0，得(x－3a)(x－a)<0，
当a＝1时，解得10时，A＝(a,3a)；
a<0时，A＝(3a，a)．
所以当a>0时，有解得1
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