12.5 二项分布及其应用
一、选择题
1．甲、乙两地都位于长江下游，根据天气预报的纪录知，一年中下雨天甲市占20%，乙市占18%，两市同时下雨占12%.则甲市为雨天，乙市也为雨天的概率为( )
A．0.6 B．0.7
C．0.8 D．0.66
解析 甲市为雨天记为事件A，乙市为雨天记为事件B，则P(A)＝0.2，P(B)＝0.18，
P(AB)＝0.12，
∴P(B|A)＝＝＝0.6.
答案 A
2． 投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A，“骰子向上的点数是3”为事件B，则事件A，B中至少有一件发生的概率是( )
A. B. C. D.
解析 本题涉及古典概型概率的计算．本知识点在考纲中为B级要求．由题意得P(A)＝，P(B)＝，则事件A，B至少有一件发生的概率是1－P()·P()＝1－×＝.
答案 C
3．在4次独立重复试验中，随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率，则事件A在一次试验中发生的概率p的取值范围是( )．
A．[0.4,1] B．(0,0.4]
C．(0,0.6] D．[0.6,1]
解析 设事件A发生的概率为p，则Cp(1－p)3≤Cp2(1－p)2，解得p≥0.4，故选A.
答案 A
4．一位国王的铸币大臣在每箱100枚的硬币中各掺入了一枚劣币，国王怀疑大臣作弊，他用两种方法来检测．方法一：在10箱中各任意抽查一枚；方法二：在5箱中各任意抽查两枚．国王用方法一、二能发现至少一枚劣币的概率分别记为p1和p2.则( )．
A．p1＝p2 B．p1p2 D．以上三种情况都有可能
解析 p1＝1－10＝1－10
＝1－5，
p2＝1－5＝1－5
则p1300
级别
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ1
Ⅲ2
Ⅳ1
Ⅳ2
Ⅴ
状况
优
良
轻微污染
轻度污染
中度污染
中度重污染
重度污染
对某城市一年(365天)的空气质量进行监测，获得的API数据按照区间[0,50]，(50,100]，(100,150]，(150,200]，(200,250]，(250,300]进行分组，得到频率分布直方图如下图．
(1)求直方图中x的值；
(2)计算一年中空气质量为良或轻微污染的天数；
(3)求该城市某一周至少有2天的空气质量为良或轻微污染的概率．
(结果用分数表示．已知57＝78 125,27＝128，
＋＋＋＋＝，365＝73×5)
解析 (1)x＝－
＝.
(2)×50×365＝219.
(3)每天空气质量为良或轻微污染的概率为P，则P＝＝，设X是一周内空气质量为良或轻微污染的天数
则X～B，
P(X＝0)＝C7，
P(X＝1)＝C6，
P＝1－7－
＝
＝.
16．学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同．每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖．(每次游戏结束后将球放回原箱)
(1)求在1次游戏中，
(ⅰ)摸出3个白球的概率；
(ⅱ)获奖的概率；
(2)求在2次游戏中获奖次数X的分布列及数学期望E(X)．
解析 (1)(ⅰ)设“在1次游戏中摸出i个白球”为事件Ai(i＝0,1,2,3)，
则P(A3)＝·＝.
(ⅱ)设“在1次游戏中获奖”为事件B，则B＝A2∪A3.
又P(A2)＝·＋·＝，且A2，A3互斥，
所以P(B)＝P(A2)＋P(A3)＝＋＝.
(2)由题意可知X的所有可能取值为0,1,2.
由于X服从二项分布，即X～B.
∴P(X＝0)＝2＝，
P(X＝1)＝C×＝，
P(X＝2)＝2＝.
所以X的分布列是
X
0
1
2
P
X的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＝.
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