12.6 离散型随机变量的均值与方差 一、选择题 1．若随机变量X的分布列如下表，则E(X)等于(　　) X 0 1 2 3 4 5  P 2x 3x 7x 2x 3x x   A.　　　　　　　　　 B. C. D. 解析 由分布列的性质可得2x＋3x＋7x＋2x＋3x＋x＝1，∴x＝.∴E(X)＝0×2x＋1×3x＋2×7x＋3×2x＋4×3x＋5x＝40x＝. 答案 C 2．某班有的学生数学成绩优秀，如果从班中随机地找出5名同学，那么其中数学成绩优秀的学生数X～B，则E(2X＋1)等于(　　) A. B. C．3 D. 解析 因为X～B，所以E(X)＝，所以E(2X＋1)＝2E(X)＋1＝2×＋1＝. 答案 D 3．已知随机变量X＋η＝8，若X～B(10，0.6)，则E(η)，D(η)分别是(　　)． A．6和2.4 B．2和2.4 C．2和5.6 D．6和5.6 解析　若两个随机变量η，X满足一次关系式η＝aX＋b(a，b为常数)，当已知E(X)、D(X)时，则有E(η)＝aE(X)＋b，D(η)＝a2D(X)．由已知随机变量X＋η＝8，所以有η＝8－X.因此，求得E(η)＝8－E(X)＝8－10×0.6＝2， D(η)＝(－1)2D(X)＝10×0.6×0.4＝2.4. 答案　B 4．已知X的分布列为 X －1 0 1  P     则在下列式子中：①E(X)＝－；②D(X)＝； ③P(X＝0)＝. 正确的个数是(　　)． A．0 B．1 C．2 D．3 解析　E(X)＝(－1)×＋1×＝－，故①正确． D(X)＝2×＋2×＋2×＝，故②不正确． 由分布列知③正确． 答案　C 5．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c，a、b、c∈(0,1)，且无其他得分情况，已知他投篮一次得分的数学期望为1，则ab的最大值为(　　) A. B. C. D. 解析 依题意得3a＋2b＋0×c＝1，∵a＞0，b＞0，∴3a＋2b≥2， 即2≤1，∴ab≤.当且仅当3a＝2b即a＝，b＝时等式成立． 答案 B 6．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需要再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为(　　)． A．100 B．200 C．300 D．400 解析　种子发芽率为0.9，不发芽率为0.1，每粒种子发芽与否相互独立，故设没有发芽的种子数为ξ，则ξ～B(1 000,0.1)，∴E(ξ)＝1 000×0.1＝100， 故需补种的期望为E(X)＝2·E(ξ)＝200. 答案　B 7．签盒中有编号为1、2、3、4、5、6的六支签，从中任意取3支，设X为这3支签的号码之中最大的一个，则X的数学期望为(　　)． A．5 B．5.25 C．5.8 D．4.6 解析　由题意可知，X可以取3,4,5,6， P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝， P(X＝5)＝＝，P(X＝6)＝＝. 由数学期望的定义可求得E(X)＝5.25. 答案　B 二、填空题 8. 某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公
司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为
，得到乙、丙两公司面试的概率为
，且三个公司是否让其面试是相互独立的。记
为该毕业生得到面试得公司个数。若
，则随机变量
的数学期望

答案
9．已知离散型随机变量X的分布列如右表，若E(X)＝0，D(X)＝1，则a＝________，b＝________. 解析　由题意知解得 答案　　 10．马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布列如下表： ξ 1 2 3  P ？ ！ ？  请小牛同学计算ξ的数学期望．尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案E(ξ)＝________. 解析　令“？”为a，“！”为b，则2a＋b＝1.又E(ξ)＝a＋2b＋3a＝2(2a＋b)＝2. 答案　2 11．袋中有大小、形状相同的红、黑球各一个，每次摸取一个球记下颜色后放回，现连续取球8次，记取出红球的次数为X，则X的方差D(X)＝________. 解析 每次取球时，红球被取出的概率为，8次取球看做8次独立重复试验，红球出现的次数X～B，故D(X)＝8××＝2. 答案 2 12．罐中有6个红球，4个白球，从中任取1球，记住颜色后再放回，连续摸取4次，设ξ为取得红球的次数，则ξ的期望E(ξ)＝________. 解析　因为是有放回地摸球，所以每次摸球(试验)摸得红球(成功)的概率均为，连续摸4次(做4次试验)，ξ为取得红球(成功)的次数，则ξ～B， 从而有E(ξ)＝np＝4×＝. 答案　 三、解答题 13．某品牌汽车的4S店，对最近100位采用分期付款的购车者进行了统计，统计结果如下表所示：已知分3期付款的频率为0.2，且4S店经销一辆该品牌的汽车，顾客分1期付款，其利润为1万元；分2期或3期付款其利润为1.5万元；分4期或5期付款，其利润为2万元．用η表示经销一辆汽车的利润. 付款方式 分1期 分2期 分3期 分4期 分5期  频数 40 20 a 10 b   (1)若以频率作为概率，求事件A：“购买该品牌汽车的3位顾客中，至多有1位采用分3期付款”的概率P(A)； (2)求η的分布列及其数学期望E(η)． 解析 (1)由题意可知“购买该品牌汽车的3位顾客中有1位采用分3期付款”的概率为0.2，所以 P(A)＝0.83＋C×0.2×(1－0.2)2＝0.896. (2)由＝0.2得a＝20， ∵40＋20＋a＋10＋b＝100，∴b＝10. 记分期付款的期数为ξ，依题意得： P(ξ＝1)＝＝0.4，P(ξ＝2)＝＝0.2，P(ξ＝3)＝＝0.2，P(ξ＝4)＝＝0.1， P(ξ＝5)＝＝0.1. 由题意知η的可能取值为：1,1.5,2(单位：万元)． P(η＝1)＝P(ξ＝1)＝0.4， P(η＝1.5)＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝0.4； P(η＝2)＝P(ξ＝4)＋P(ξ＝5)＝0.1＋0.1＝0.2. ∴η的分布列为： η 1 1.5 2  P 0.4 0.4 0.2   ∴η的数学期望E(η)＝1×0.4＋1.5×0.4＋2×0.2＝1.4(万元)． 14．如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2，据统计，通过两条路径所用的时间互不影响，所用时间落在各时间段内的频率如下表：
时间(分钟) 10～20 20～30 30～40 40～50 50～60  L1的频率 0.1 0.2 0.3 0.2 0.2  L2的频率 0 0.1 0.4 0.4 0.1  现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站． (1)为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站，甲和乙应如何选择各自的路径？ (2)用X表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数，针对(1)的选择方案，求X的分布列和数学期望． 解析　(1)Ai表示事件“甲选择路径Li时，40分钟内赶到火车站”，Bi表示事件“乙选择路径Li时，50分钟内赶到火车站”，i＝1,2. 用频率估计相应的概率可得 P(A1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5， ∵P(A1)＞P(A2)，∴甲应选择L1； P(B1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8，P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9， ∵P(B2)＞P(B1)，∴乙应选择L2. (2)A，B分别表示针对(1)的选择方案，甲、乙在各自允许的时间内赶到火车站， 由(1)知P(A)＝0.6，P(B)＝0.9，又由题意知，A，B独立， ∴P(X＝0)＝P()＝P()P()＝0.4×0.1＝0.04， P(X＝1)＝P(B＋A)＝P()P(B)＋P(A)P() ＝0.4×0.9＋0.6×0.1＝0.42， P(X＝2)＝P(AB)＝P(A)P(B)＝0.6×0.9＝0.54. ∴X的分布列为 X 0 1 2  P 0.04 0.42 0.54  ∴E(X)＝0×0.04＋1×0.42＋2×0.54＝1.5. 15．某省示范高中为了推进新课程改革，满足不同层次学生的需求，决定从高一年级开始，在每周的周一、周三、周五的课外活动期间同时开设数学、物理、化学、生物和信息技术辅导讲座，每位有兴趣的同学可以在期间的任何一天参加任何一门科目的辅导讲座，也可以放弃任何一门科目的辅导讲座．(规定：各科达到预先设定的人数时称为满座，否则称为不满座)统计数据表明，各学科讲座各天的满座的概率如下表： 信息技术 生物 化学 物理 数学  周一       周三       周五       (1)求数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座的概率； (2)设周三各辅导讲座满座的科目数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望． 解析　(1)设数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座为事件A， 则P(A)＝＝. (2)ξ的可能取值为0,1,2,3,4,5. P(ξ＝0)＝4×＝； P(ξ＝1)＝C××3×＋4×＝； P(ξ＝2)＝C×2×2×＋C××3×＝； P(ξ＝3)＝C×3××＋C×2×2×＝； P(ξ＝4)＝4×＋C×3××＝； P(ξ＝5)＝4×＝. 所以，随机变量ξ的分布列如下： ξ 0 1 2 3 4 5  P        故E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＋5×＝. 16．某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位游客游览这3个景点的概率分别是0.4、0.5、0.6，且游客是否游览哪个景点互不影响，用X表示该游客离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值． (1)求X的分布列及期望； (2)记“f(x)＝2Xx＋4在[－3，－1]上存在x0，使f(x0)＝0”为事件A，求事件A的概率． 解析　(1)设游客游览甲、乙、丙景点分别记为事件A1、A2、A3，已知A1、A2、A3相互独立，且P(A1)＝0.4，P(A2)＝0.5，P(A3)＝0.6.游客游览的景点数可能取值为0、1、2、3，相应的游客没有游览的景点数可能取值为3、2、1、0， 所以X的可能取值为1、3.则P(X＝3)＝P(A1A2A3)＋P(　　) ＝P(A1)·P(A2)·P(A3)＋P()·P()·P() ＝2×0.4×0.5×0.6＝0.24. P(X＝1)＝1－0.24＝0.76. 所以分布列为： X 1 3  P 0.76 0.24  ∴E(X)＝1×0.76＋3×0.24＝1.48. (2)∵f(x)＝2Xx＋4在[－3，－1]上存在x0，使得f(x0)＝0， ∴f(－3)·f(－1)≤0，即(－6X＋4)(－2X＋4)≤0， 解得：≤X≤2. ∴P(A)＝P＝P(X＝1)＝0.76.

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