13.2 合情推理与演绎推理
一、选择题
1．如图是今年元宵花灯展中一款五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形，照此规律闪烁，下一个呈现出来的图形是( )．
解析 该五角星对角上的两盏花灯依次按逆时针方向亮一盏，故下一个呈现出来的图形是A.
答案 A
2．推理“①矩形是平行四边形；②三角形不是平行四边形；③三角形不是矩形”中的小前提是( )
A．① B．②
C．③ D．①和②
解析 由演绎推理三段论可知，①是大前提；②是小前提；③是结论．
答案 B
3．设f0(x)＝sinx，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，fn(x)＝fn－1′(x)，
n∈N，则f2 013(x)＝( )
A．sinx B．－sinx
C．cosx D．－cosx
解析 f1(x)＝(sinx)′＝cosx，
f2(x)＝(cosx)′＝－sinx，
f3(x)＝(－sinx)′＝－cosx，
f4(x)＝(－cosx)′＝sinx，
f5(x)＝(sinx)′＝cosx＝f1(x)，
f6(x)＝(cosx)′＝－sinx＝f2(x)，
fn＋4(x)＝…＝…＝fn(x)，
故可猜测fn(x)以4为周期，有
f4n＋1(x)＝f1(x)＝cosx，f4n＋2(x)＝f2(x)＝－sinx，
f4n＋3(x)＝f3(x)＝－cosx，f4n＋4(x)＝f4(x)＝sinx，
所以f2 013(x)＝f503×4＋1(x)＝f1(x)＝cosx，故选C.
答案 C
4．为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为a0a1a2，ai∈{0,1}(i＝0,1,2)，信息为h0a0a1a2h1，其中h0＝a0⊕a1，h1＝h0⊕a2，⊕运算规则为：0⊕0＝0，0⊕1＝1,1⊕0＝1,1⊕1＝0.例如原信息为111，则传输信息为01111，信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是( )．
A．11010 B．01100 C．10111 D．00011
解析 对于选项C，传输信息是10111，对应的原信息是011，由题目中运算规则知h0＝0⊕1＝1，而h1＝h0⊕a2＝1⊕1＝0，故传输信息应是10110.
答案 C
5．观察下图：
1
2 3 4
3 4 5 6 7
4 5 6 7 8 9 10
……
则第________行的各数之和等于2 0112( )．
A．2 010 B．2 009 C．1 006 D．1 005
解析 由题图知，第一行各数和为1；第二行各数和为9＝32；第三行各数和为25＝52；第四行各数和为49＝72；…；故第n行各数和为(2n－1)2，令2n－1＝2 011，解得n＝1 006.
答案 C
6．观察下列各式：55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125，…，则52 011的末四位数字为( )．
A．3 125 B．5 625 C．0 625 D．8 125
解析 ∵55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125,58＝390 625,59＝1 953 125,510＝9 765 625，…
∴5n(n∈Z，且n≥5)的末四位数字呈周期性变化，且最小正周期为4，记5n(n∈Z，且n≥5)的末四位数字为f(n)，则f(2 011)＝f(501×4＋7)＝f(7)
∴52 011与57的末四位数字相同，均为8 125.故选D.
答案 D
7．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：
他们研究过图1中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1,4,9,16，…，这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是( )．
A．289 B．1 024
C．1 225 D．1 378
解析 观察三角形数：1,3,6,10，…，记该数列为{an}，则a1＝1，
a2＝a1＋2，
a3＝a2＋3，
…
an＝an－1＋n.
∴a1＋a2＋…＋an＝(a1＋a2＋…＋an－1)＋(1＋2＋3＋…＋n)
?an＝1＋2＋3＋…＋n＝，
观察正方形数：1,4,9,16，…，记该数列为{bn}，则bn＝n2.把四个选项的数字，分别代入上述两个通项公式，可知使得n都为正整数的只有1 225.
答案 C
二、填空题
8．对于命题：
若O是线段AB上一点，则有||·＋||·＝0.
将它类比到平面的情形是：
若O是△ABC内一点，则有S△OBC·＋S△OCA·＋S△OAB·＝0.
将它类比到空间的情形应该是：
若O是四面体ABCD内一点，则有________．
解析 平面上的线段长度类比到平面上就是图形的面积，类比到空间就是几何体的体积．
答案 VO－BCD·＋VO－ACD·＋VO－ABD·＋VO－ABC·＝0
9．在平面上，若两个正三角形的边长比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为________．
解析 ∵两个正三角形是相似的三角形，∴它们的面积之比是相似比的平方．同理，两个正四面体是两个相似几何体，体积之比为相似比的立方，所以它们的体积比为1∶8.
答案 1∶8
10．已知结论：“在正三角形ABC中，若D是边BC的中点，G是三角形ABC的重心，则＝2”．若把该结论推广到空间，则有结论：“在棱长都相等的四面体ABCD中，若△BCD的中心为M，四面体内部一点O到四面体各面的距离都相等”，则＝________.
解析 由题知，O为正四面体的外接球、内切球球心，设正四面体的高为h，由等体积法可求内切球半径为h，外接球半径为h，所以＝3.
答案 3
11．设n为正整数，f(n)＝1＋＋＋…＋，计算得f(2)＝，f(4)>2，f(8)>，f(16)>3，观察上述结果，可推测一般的结论为________．
解析 由前四个式子可得，第n个不等式的左边应当为f(2n)，右边应当为，即可得一般的结论为f(2n)≥.
答案 f(2n)≥
12．在Rt△ABC中，若∠C＝90°，AC＝b，BC＝a，则△ABC外接圆半径r＝.运用类比方法，若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长度分别为a，b，c，则其外接球的半径R＝________.
解析 (构造法)通过类比可得R＝.证明：作一个在同一个顶点处棱长分别为a，b，c的长方体，则这个长方体的体对角线的长度是，故这个长方体的外接球的半径是 ，这也是所求的三棱锥的外接球的半径．
答案
【点评】 本题构造长方体.解题时题设条件若是三条线两两互相垂直，就要考虑到构造正方体或长方体
三、解答题
13．平面中的三角形和空间中的四面体有很多相类似的性质，例如在三角形中：(1)三角形两边之和大于第三边；
(2)三角形的面积S＝×底×高；(3)三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的；……
请类比上述性质，写出空间中四面体的相关结论．
解析 由三角形的性质，可类比得空间四面体的相关性质为：
(1)四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积；
(2)四面体的体积V＝×底面积×高；
(3)四面体的中位面平行于第四个面且面积等于第四个面的面积的.
14．(10分)蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以f(n)表示第n个图的蜂巢总数．
(1)试给出f(4)，f(5)的值，并求f(n)的表达式(不要求证明)；
(2)证明：＋＋＋…＋<.
解析 (1)f(4)＝37，f(5)＝61.
由于f(2)－f(1)＝7－1＝6，f(3)－f(2)＝19－7＝2×6，
f(4)－f(3)＝37－19＝3×6，f(5)－f(4)＝61－37＝4×6，…
因此，当n≥2时，有f(n)－f(n－1)＝6(n－1)，
所以f(n)＝[f(n)－f(n－1)]＋[f(n－1)－f(n－2)]＋…＋[f(2)－f(1)]＋f(1)
＝6[(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋1]＋1＝3n2－3n＋1.
又f(1)＝1＝3×12－3×1＋1，所以f(n)＝3n2－3n＋1.
(2)证明：当k≥2时，＝<＝.
所以＋＋＋…＋
<1＋
＝1＋<1＋＝.
15．定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．已知数列{an}是等和数列，且a1＝2，公和为5，(1)求a18的值；(2)求该数列的前n项和Sn.
解析 (1)由等和数列的定义，数列{an}是等和数列，且a1＝2，公和为5，易知a2n－1＝2，a2n＝3(n＝1,2，…)，故a18＝3.
(2)当n为偶数时，
Sn＝a1＋a2＋…＋an＝(a1＋a3＋…＋an－1)＋(a2＋a4＋…＋an)
＝2＋2＋…＋＋3＋3＋…＋＝n；
当n为奇数时，
Sn＝Sn－1＋an＝(n－1)＋2＝n－.
综上所述：Sn＝
16．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形．
(1)求出f(5)的值；
(2)利用合情推理的“归纳推理思想”，归纳出f(n＋1)与f(n)之间的关系式，并根据你得到的关系式求出f(n)的表达式；
(3)求＋＋＋…＋的值．
解析 (1)f(5)＝41.
(2)因为f(2)－f(1)＝4＝4×1，
f(3)－f(2)＝8＝4×2，
f(4)－f(3)＝12＝4×3，
f(5)－f(4)＝16＝4×4，
……
由上式规律，所以得出f(n＋1)－f(n)＝4n.
因为f(n＋1)－f(n)＝4n?f(n＋1)＝f(n)＋4n?
f(n)＝f(n－1)＋4(n－1)
＝f(n－2)＋4(n－1)＋4(n－2)
＝f(n－3)＋4(n－1)＋4(n－2)＋4(n－3)
＝…
＝f(1)＋4(n－1)＋4(n－2)＋4(n－3)＋…＋4
＝2n2－2n＋1.
(3)当n≥2时，＝＝.
∴＋＋＋…＋＝1＋×
＝1＋＝－.
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