2.1 函数及其表示
一、选择题
1．已知a、b为实数，集合M＝{，1}，N＝{a,0}，f：x→x表示把M中的元素x映射到集合N中仍为x，则a＋b等于( )
A．－1 B．0
C．1 D．±1
解析：a＝1，b＝0，∴a＋b＝1.
答案：C
2．若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是( )．
解析 (筛选法)根据函数的定义，观察得出选项B.
答案 B
【点评】 本题解题利用的是筛选法，即根据题设条件筛选出正确选项，这种方法在选择题中经常应用.
3.已知函数f(x)＝则f(2012)等于( )
A．－1 B．1
C．－3 D．3
解析： f(2012)＝f(2009)＝f(2006)＝……＝f(2)＝f(－1)＝2×(－1)＋1＝－1.
答案： A
4.若函数y＝f(x)的值域是[，3]，则函数F(x)＝f(x)＋的值域是( )
A．[，3] B．[2，]
C．[，] D．[3，]
解析： 令t＝f(x)，则≤t≤3，由函数g(t)＝t＋在区间[，1]上是减函数，在[1,3]上是增函数，且g()＝，g(1)＝2，g(3)＝，可得值域为[2，]，选B.
答案： B
5．对实数a和b，定义运算“?”：a?b＝设函数f(x)＝(x2－2)?(x－x2)，x∈R.若函数y＝f(x)－c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是( )．
A．(－∞，－2]∪
B．(－∞，－2]∪
C.∪
D.∪
解析 当(x2－2)－(x－x2)≤1，即－1≤x≤时，f(x)＝x2－2；
当x2－2－(x－x2)＞1，即x＜－1或x＞时，f(x)＝x－x2，
∴f(x)＝
f(x)的图象如图所示，c≤－2或－1＜c＜－.
答案 B
6．如下图，是张大爷晨练时所走的离家距离(y)与行走时间(x)之间的函数关系的图象．若用黑点表示张大爷家的位置，则张大爷散步行走的路线可能是( )．
解析 据图象可知在第一段时间张大爷离家距离随时间的增加而增加，在第二段时间内，张大爷离家的距离不变，第三段时间内，张大爷离家的距离随时间的增加而减少，最后回到始点位置，对比各选项，只有D选项符合条件．
答案 D
7．根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)＝(A，c为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么c和A的值分别是( )．
A．75,25 B．75,16
C．60,25 D．60,16
解析 (回顾检验法)∵＝15，故A＞4，则有＝30，解得c＝60，A＝16，将c＝60，A＝16代入解析式检验知正确．故选D.
答案 D
【点评】 解决分段函数的关键在于“对号入座”，解出结果后代入对应解析式检验是否正确.
二、填空题
8．已知f(x－)＝x2＋，则函数f(3)＝________.
解析：∵f(x－)＝x2＋＝(x－)2＋2，
∴f(x)＝x2＋2，∴f(3)＝32＋2＝11.
答案：11
9．已知函数f(x)、g(x)分别由下表给出：
x
1
2
3
f(x)
1
3
1
x
1
2
3
g(x)
3
2
1
则f[g(1)]的值为________；满足f[g(x)]>g[f(x)]的x的值是________．
解析 g(1)＝3 f[g(1)]＝1 g[f(1)]＝3
g(2)＝2 f[g(2)]＝3 g[f(2)]＝1
g(3)＝1 f[g(3)]＝1 g[f(3)]＝3
因此满足f(g(x))>g(f(x))的x＝2.
答案 1 2
10．若函数f(x)＝ 的定义域为R，则a的取值范围为________．
解析 ∵y＝ 的定义域为R，
∴对一切x∈R都有2x2＋2ax－a≥1恒成立，
即x2＋2ax－a≥0恒成立．∴Δ≤0成立，即4a2＋4a≤0，
∴－1≤a≤0.
答案 [－1,0]
11．函数y＝的定义域是________．
解析： 要使函数有意义，应有log2(4－x)≥0，
∵4－x≥1，∴x≤3.
答案：(－∞，3]
12．设f(x)＝则f(f(－2))＝________.
解析：因为f(x)＝又－2<0，
∴f(－2)＝10－2,10－2>0，f(10－2)＝lg10－2＝－2.
答案：－2
三、解答题
13．设函数f(x)＝ln，求函数g(x)＝f＋f的定义域.
解析： 由>0知－11或x<－1，因此－20}＝，
N＝＝＝{x|x≥3，或x<1}；
(2)M∩N＝{x|x≥3}，M∪N＝.
15．已知g(x)＝－x2－3，f(x)是二次函数，当x∈[－1,2]时，f(x)的最小值为1，且f(x)＋g(x)为奇函数，求函数f(x)的表达式．
解 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
则f(x)＋g(x)＝(a－1)x2＋bx＋c－3，
又f(x)＋g(x)为奇函数，∴a＝1，c＝3.
∴f(x)＝x2＋bx＋3，对称轴x＝－.
当－≥2，即b≤－4时，f(x)在[－1,2]上为减函数，
∴f(x)的最小值为f(2)＝4＋2b＋3＝1.
∴b＝－3.∴此时无解．
当－1＜－＜2，即－4＜b＜2时，
f(x)min＝f＝3－＝1，∴b＝±2.
∴b＝－2，此时f(x)＝x2－2x＋3，
当－≤－1，即b≥2时，f(x)在[－1,2]上为增函数，
∴f(x)的最小值为f(－1)＝4－b＝1.
∴b＝3.∴f(x)＝x2＋3x＋3.
综上所述，f(x)＝x2－2x＋3，或f(x)＝x2＋3x＋3.
16．我国是水资源相对匮乏的国家，为鼓励节约用水，某市打算制定一项水费措施，规定每季度每人用水不超过5吨时，每吨水费的价格(基本消费价)为1.3元，若超过5吨而不超过6吨时，超过部分的水费加收200%，若超过6吨而不超过7吨时，超过部分的水费加收400%，如果某人本季度实际用水量为x(x≤7)吨，试计算本季度他应缴纳的水费．
解：设y表示本季度应缴纳的水费(元)，
当0
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