2.3 函数的奇偶性与周期性
一、选择题
1.已知定义在R上的奇函数满足,且在区间上是增函数,则( )
A. B.
C. D.
域为R,所以,且函数的图象关于对称, 因为函数在区间上是增函数,所以在上的函数值非负,故,所以,
,,所以,故选D.
答案 D
2．已知定义在R上的奇函数，f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，则f(6)的值为
( )．
A．－1 B．0 C．1 D．2
解析 (构造法)构造函数f(x)＝sin x，则有f(x＋2)＝sin＝－sin x＝－f(x)，所以f(x)＝sin x是一个满足条件的函数，所以f(6)＝sin 3π＝0，故选B.
答案 B
【点评】 根据函数的性质构造出一个符合条件的具体函数，是解答抽象函数选择题的常用方法，充分体现了由抽象到具体的思维方法.
3.下列函数中，既是偶函数，且在区间内是单调递增的函数是（ ）
A． B． C． D．
答案 D
4．若函数f(x)＝为奇函数，则a＝( )．
A. B. C. D．1
解析 (特例法)∵f(x)＝是奇函数，
∴f(－1)＝－f(1)，
∴＝－，
∴a＋1＝3(1－a)，解得a＝.
答案 A
【点评】 本题采用特例法，可简化运算，当然也可用奇函数的定义进行解题，不过过程较为繁琐，若运算能力较弱容易出错.
5．函数f(x)的定义域为R，若f(x＋1)与f(x－1)都是奇函数，则( )．
A．f(x)是偶函数 B．f(x)是奇函数
C．f(x)＝f(x＋2) D．f(x＋3)是奇函数
解析 由已知条件对x∈R都有f(－x＋1)＝－f(x＋1)，f(－x－1)＝－f(x－1)因此f(－x＋3)＝f[－(x－2)＋1]＝－f[(x－2)＋1]＝－f(x－1)＝f(－x－1)＝f(－x－2＋1)＝f(－(x＋2)＋1)＝－f((x＋2)＋1)＝－f(x＋3)，因此函数f(x＋3)是奇函数．
答案 D
6.已知f(x)是定义在R上的偶函数，并满足f(x＋2)＝－，当1≤x≤2时，f(x)＝x－2，则f(6.5)＝( )
A．4.5 B．－4.5
C．0.5 D．－0.5
解析 ∵f(x＋2)＝－，∴f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－＝f(x)，∴f(x)周期为4，∴f(6.5)＝f(6.5－8)＝f(－1.5)＝f(1.5)＝1.5－2＝－0.5.
答案 D
【点评】 本题采用直接法，所谓直接法，就是直接从题设的条件出发，运用有关的概念、定义、性质、定理、法则和公式等知识，通过严密的推理与计算来得出题目的结论，然后再对照题目所给的四个选项来“对号入座”.其基本策略是由因导果，直接求解.
7.已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x＜2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点的个数为( )．
A．6 B．7 C．8 D．9
解析 当0≤x＜2时，令f(x)＝x3－x＝0，得x＝0或x＝1或x＝－1(舍去)，又f(x)的最小正周期为2，∴f(0)＝f(2)＝f(4)＝f(6)＝0，f(1)＝f(3)＝f(5)＝0，
∴y＝f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点个数为7.
答案 B
二、填空题
8.已知函数f(x)满足：f(1)＝，4f(x)f(y)＝f(x＋y)＋f(x－y)(x，y∈R)，则f(2 013)＝________.
解析 法一 当x＝1，y＝0时，f(0)＝；当x＝1，y＝1时，f(2)＝－；当x＝2，y＝1时，f(3)＝－；当x＝2，y＝2时，f(4)＝－；当x＝3，y＝2时，f(5)＝；当x＝3，y＝3时，f(6)＝；当x＝4，y＝3时，f(7)＝；当x＝4，y＝4时，f(8)＝－；….
∴f(x)是以6为周期的函数，
∴f(2 013)＝f(3＋335×6)＝f(3)＝－.
法二 ∵f(1)＝，4f(x)·f(y)＝f(x＋y)＋f(x－y)，
∴构造符合题意的函数f(x)＝cos x，
∴f(2 013)＝cos＝－.
答案 －
9.若函数f(x)＝(a为常数)在定义域上为奇函数，则实数a的值为________．
解析 f(－x)＝＝
f(x)＋f(－x)
＝
＝＝0恒成立，
所以a＝1或－1.
答案 1或－1
10．若f(x)是R上周期为5的奇函数，且满足f(1)＝1，f(2)＝2，则f(3)－f(4)＝________.
解析 ∵f(x＋5)＝f(x)且f(－x)＝－f(x)，
∴f(3)＝f(3－5)＝f(－2)＝－f(2)＝－2，f(4)＝f(－1)＝－f(1)＝－1，故f(3)－f(4)＝(－2)－(－1)＝－1.
答案 －1
11．设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，当x∈[0,5]时，函数y＝f(x)的图象如图所示，则使函数值y＜0的x的取值集合为________．
解析 由原函数是奇函数，所以y＝f(x)在[－5,5]上的图象关于坐标原点对称，由y＝f(x)在[0,5]上的图象，得它在[－5,0]上的图象，如图所示．由图象知，使函数值y＜0的x的取值集合为(－2,0)∪(2,5)．
答案 (－2,0)∪(2,5)
12.对于函数，有如下三个命题：
①是偶函数；
②在区间上是减函数，在区间上是增函数；
③在区间上是增函数．
其中正确命题的序号是 ．（将你认为正确的命题序号都填上）
解析 函数和的图像如图所示，由图像可知①②正确；函数，由复合函数的单调性法则，可知函数在区间上是减函数。所以③错。
答案 ①②
三、解答题
13. f(x)是定义在R上的奇函数且满足f(x＋2)＝f(x)，当x∈(0,1)时，f(x)＝2x－1，求f(log6)的值
解析 ∵log6＝－log26<0，
且f(x)为奇函数，
∴f(log6)＝－f(log26)．
又∵f(x＋2)＝f(x)，
∴f(log26)＝f(log26－2)＝f(log2)，
而log2∈(0,1)．
∴f(log2)＝2log2－1＝－1＝.
∴f(log6)＝－.
14．已知函数f(x)对任意x，y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且x＞0时，f(x)＜0，f(1)＝－2.
(1)求证f(x)是奇函数；
(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值．
解析 (1)证明 令x＝y＝0，知f(0)＝0；再令y＝－x，
则f(0)＝f(x)＋f(－x)＝0，所以f(x)为奇函数．
(2)任取x1＜x2，则x2－x1＞0，所以f(x2－x1)＝f[x2＋(－x1)]＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2)－f(x1)＜0，所以f(x)为减函数．而f(3)＝f(2＋1)＝f(2)＋f(1)＝3f(1)＝－6，f(－3)＝－f(3)＝6.
所以f(x)max＝f(－3)＝6，f(x)min＝f(3)＝－6.
15．已知函数f(x)＝x2＋(x≠0，常数a∈R)
(1)讨论函数f(x)的奇偶性，并说明理由；
(2)若函数f(x)在x∈[2，＋∞)上为增函数，求实数a的取值范围．
解析 (1)函数f(x)的定义域为{x|x≠0}，
当a＝0时，f(x)＝x2，(x≠0)
显然为偶函数；当a≠0时，f(1)＝1＋a，f(－1)＝1－a，
因此f(1)≠f(－1)，且f(－1)≠－f(1)，
所以函数f(x)＝x2＋既不是奇函数，也不是偶函数．
(2)f′(x)＝2x－＝，
当a≤0，f′(x)＞0，则f(x)在(2，＋∞)上是增函数，
当a＞0时，由f′(x)＝＞0，解得x＞ ，由f(x)在[2，＋∞)上是增函数，
可知 ≤2.解得0＜a≤16
综上可知实数a的取值范围是(－∞，16]．
16.已知函数f(x)＝－x2＋8x，g(x)＝6lnx＋m.
(1)求f(x)在区间[t，t＋1]上的最大值h(t)；
(2)是否存在实数m，使得y＝f(x)的图象与y＝g(x)的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．
解析 (1)f(x)＝－x2＋8x＝－(x－4)2＋16，
当t＋1<4，即t<3时，f(x)在[t，t＋1]上单调递增，
h(t)＝f(t＋1)＝－(t＋1)2＋8(t＋1)
＝－t2＋6t＋7；
当t≤4≤t＋1，即3≤t≤4时，h(t)＝f(4)＝16；
当t>4时，f(x)在[t，t＋1]上单调递减，
h(t)＝f(t)＝－t2＋8t.
综上，h(t)＝.
(2)函数y＝f(x)的图象与y＝g(x)的图象有且只有三个不同的交点，即函数φ(x)＝g(x)－f(x)的图象与x轴的正半轴有且只有三个不同的交点．
∵φ(x)＝x2－8x＋6lnx＋m，
∴φ′(x)＝2x－8＋＝
＝ (x>0)．
当x∈(0,1)时，φ′(x)>0，φ(x)是增函数；
当x∈(1,3)时，φ′(x)<0，φ(x)是减函数；
当x∈(3，＋∞)时，φ′(x)>0，φ(x)是增函数；
当x＝1或x＝3时，φ′(x)＝0.
∴φ(x)极大值＝φ(1)＝m－7，
φ(x)极小值＝φ(3)＝m＋6ln3－15.
∵当x充分接近0时，φ(x)<0；
当x充分大时，φ(x)>0.
∴要使φ(x)的图象与x轴正半轴有三个不同的交点，必须且只需
，即7
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