2.6 对数与对数函数
一、选择题
1．若点(a，b)在y＝lgx图象上，a≠1，则下列点也在此图象上的是( )
A．(，b) B．(10a,1－b)
C．(，b＋1) D．(a2,2b)
解析：当x＝a2时，y＝lga2＝2lga＝2b，所以点(a2,2b)在函数y＝lgx的图象上．
答案：D
2．下列函数中既不是奇函数，又不是偶函数的是( )．
A．y＝2|x| B．y＝lg(x＋)
C．y＝2x＋2－x D．y＝lg
解析 依次根据函数奇偶性定义判断知，A，C选项对应函数为偶函数，B选项对应函数为奇函数，只有D选项对应函数定义域不关于原点对称，故为非奇非偶函数．
答案 D
3.设a＝log，b＝log，c＝log3，则a、b、c的大小关系是( )
A．ab且a>0，b>0，又c<0.故c3，即a＋2b的取值范围是(3，＋∞)．
答案 C
二、填空题
8.函数f(x)＝ln的定义域是________．
解析 要使f(x)有意义，应有1＋>0，
∴>0，∴x<0或x>1.
答案 (－∞，0)∪(1，＋∞)
9．已知函数，若，则____________。
答案 2
10．函数f(x)＝|log3x|在区间[a，b]上的值域为[0,1]，则b－a的最小值为________．
解析：如图所示为f(x)＝|log3x|的图象，当f(x)＝0时，x＝1，当f(x)＝1时，x＝3或，故要使值域为[0,1]，则定义域为[，3]或[，1]或[1,3]，所以b－a的最小值为.
答案：
11．已知函数f(x)＝则f(log23)＝________.
解析 ∵1＜log23＜2，
∴log23＋2＞2
∴f(log23)＝f(log23＋2)＝f(log212)
＝2log212＝12.
答案 12
12．函数y＝log3(x2－2x)的单调减区间是________．
解析 (等价转化法)令u＝x2－2x，则y＝log3u.
∵y＝log3u是增函数，u＝x2－2x＞0的减区间是(－∞，0)，
∴y＝log3(x2－2x)的减区间是(－∞，0)．
答案 (－∞，0)
【点评】 本题采用了等价转化法(换元法)，把问题转化为关于x的二次函数的单调区间问题，但应注意定义域的限制．
三、解答题
13．已知函数f(x)＝log4(ax2＋2x＋3)．
(1)若f(1)＝1，求f(x)的单调区间；
(2)是否存在实数a，使f(x)的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
解：(1)∵f(1)＝1，
∴log4(a＋5)＝1，因此a＋5＝4，a＝－1，
这时f(x)＝log4(－x2＋2x＋3)．
由－x2＋2x＋3>0得－10对一切x∈[0,2]恒成立，∵a>0且a≠1，
∴g(x)＝3－ax在[0,2]上是减函数，从而g(2)＝3－2a>0得a<.∴a的取值范围为(0,1)∪.
(2)假设存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1.
由题设f(1)＝1，即loga(3－a)＝1，
∴a＝，此时f(x)＝log，当x＝2时，函数f(x)没有意义，故这样的实数a不存在．
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