2.8 函数与方程
一、选择题
1.下列函数图象与x轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是( )
解析 能用二分法求零点的函数必须在给定区间[a，b]上连续不断，并且有f(a)·f(b)<0.A、B选项中不存在f(x)<0，D选项中零点两侧函数值同号，故选C.
答案 C
2.已知函数f(x)＝ax－x－a(a>0，a≠1)，那么函数f(x)的零点个数是( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．至少1个
答案 D
解析 在同一坐标系中作出函数y＝ax与y＝x＋a的图象，a>1时，如图(1)，00，即m2－4>0，解得m>2或m<－2.
答案：C
5. 函数的零点所在的区间为( )
A.(-1,0) B.( 0,1) C.(1,2) D.(2,3)
答案 B
6．方程x2＋x－1＝0的解可视为函数y＝x＋的图象与函数y＝的图象交点的横坐标，若x4＋ax－4＝0的各个实根x1，x2，…，xk(k≤4)所对应的点(i＝1,2，…，k)均在直线y＝x的同侧，则实数a的取值范围是( )．
A．R B．?
C．(－6,6) D．(－∞，－6)∪(6，＋∞)
解析 (转化法)方程的根显然x≠0，原方程等价于x3＋a＝，原方程的实根是曲线y＝x3＋a与曲线y＝的交点的横坐标；而曲线y＝x3＋a是由曲线y＝x3向上或向下平移|a|个单位而得到的．
若交点(i＝1,2，…，k)均在直线y＝x的同侧，
因直线y＝x与y＝交点为：(－2，－2)，(2,2)；
所以结合图象可得：或
?a∈(－∞，－6)∪(6，＋∞)；选D.
答案 D
【点评】 转化法能够在一定程度上简化解题过程.
7．已知函数f(x)＝xex－ax－1，则关于f(x)零点叙述正确的是( )．
A．当a＝0时，函数f(x)有两个零点
B．函数f(x)必有一个零点是正数
C．当a＜0时，函数f(x)有两个零点
D．当a＞0时，函数f(x)只有一个零点
解析 f(x)＝0?ex＝a＋
在同一坐标系中作出y＝ex与y＝的图象，
可观察出A、C、D选项错误，选项B正确．
答案 B
二、填空题
8．已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，则实数m的取值范围是________．
解析：画出图象，令g(x)＝f(x)－m＝0，即f(x)与y＝m的图象的交点有3个，∴01，设函数f(x)＝ax＋x－4的零点为m，g(x)＝logax＋x－4的零点为n，求＋的取值范围.
[分析] 欲求＋的取值范围，很容易联想到基本不等式，于是需探讨m、n之间的关系，观察f(x)与g(x)的表达式，根据函数零点的意义，可以把题目中两个函数的零点和转化为指数函数y＝ax和对数函数y＝logax与直线y＝－x＋4的交点的横坐标，因为指数函数
y＝ax和对数函数y＝logax互为反函数，故其图象关于直线y＝x对称，又因直线y＝－x＋4垂直于直线y＝x，指数函数y＝ax和对数函数y＝logax与直线y＝－x＋4的交点的横坐标之和是直线y＝x与y＝－x＋4的交点的横坐标的2倍，这样即可建立起m，n的数量关系式，进而利用基本不等式求解即可．
解析 令ax＋x－4＝0得ax＝－x＋4，
令logax＋x－4＝0得logax＝－x＋4，
在同一坐标系中画出函数y＝ax，y＝logax，y＝－x＋4的图象，结合图形可知，n＋m为直线y＝x与y＝－x＋4的交点的横坐标的2倍，由，解得x＝2，所以n＋m＝4，
因为(n＋m)＝1＋1＋＋≥4，又n≠m，故(n＋m)>4，则＋>1.
15．已知函数f(x)＝4x＋m·2x＋1有且仅有一个零点，求m的取值范围，并求出该零点．
思路分析 由题意可知，方程4x＋m·2x＋1＝0仅有一个实根，再利用换元法求解．
解析 ∵f(x)＝4x＋m·2x＋1有且仅有一个零点，
即方程(2x)2＋m·2x＋1＝0仅有一个实根．
设2x＝t(t＞0)，则t2＋mt＋1＝0.
当Δ＝0时，即m2－4＝0，
∴m＝－2时，t＝1；m＝2时，t＝－1(不合题意，舍去)，
∴2x＝1，x＝0符合题意．
当Δ＞0时，即m＞2或m＜－2时，
t2＋mt＋1＝0有两正或两负根，
即f(x)有两个零点或没有零点．
∴这种情况不符合题意．
综上可知：m＝－2时，f(x)有唯一零点，该零点为x＝0.
【点评】 方程的思想是与函数思想密切相关的，函数问题可以转化为方程问题来解决，方程问题也可以转化为函数问题来解决，本题就是函数的零点的问题转化为方程根的问题．
16． (1)m为何值时，f(x)＝x2＋2mx＋3m＋4.
①有且仅有一个零点；②有两个零点且均比－1大；
(2)若函数f(x)＝|4x－x2|＋a有4个零点，求实数a的取值范围．
解析 (1)①f(x)＝x2＋2mx＋3m＋4有且仅有一个零点?方程f(x)＝0有两个相等实根
?Δ＝0，即4m2－4(3m＋4)＝0，即m2－3m－4＝0，∴m＝4或m＝－1.
②法一 设f(x)的两个零点分别为x1，x2，
则x1＋x2＝－2m，x1·x2＝3m＋4.
由题意，在?
?
∴－5＜m＜－1.故m的取值范围为(－5，－1)．
法二 由题意，知即
∴－5＜m＜－1.∴m的取值范围为(－5，－1)．
(2)令f(x)＝0，得|4x－x2|＋a＝0，
即|4x－x2|＝－a.
令g(x)＝|4x－x2|，h(x)＝－a.
作出g(x)、h(x)的图象．
由图象可知，当0＜－a＜4，即－4＜a＜0时，g(x)与h(x)的图象有4个交点，即f(x)有4个零点．故a的取值范围为(－4,0)．
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