4.6 正弦定理和余弦定理
一、选择题
1．在△ABC中，C＝60°，AB＝，BC＝，那么A等于( )．
A．135° B．105° C．45° D．75°
解析 由正弦定理知＝，即＝，所以sin A＝，又由题知，BC＜AB，∴A＝45°.
答案 C
2．已知a，b，c是△ABC三边之长，若满足等式(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，则角C的大小为( )．
A．60° B．90° C．120° D．150°
解析 由(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，得(a＋b)2－c2＝ab，
∴c2＝a2＋b2＋ab＝a2＋b2－2abcos C，
∴cos C＝－，∴C＝120°.
答案 C
3．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a＝λ，b＝λ(λ>0)，A＝45°，则满足此条件的三角形个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．无数个
解析：直接根据正弦定理可得＝，可得sin B＝＝＝>1，没有意义，故满足条件的三角形的个数为0.
答案：A
4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若acos A＝bsin B，则sin Acos A＋cos2B等于( )．
A．－ B. C．－1 D．1
解析 根据正弦定理，由acos A＝bsin B，得sin Acos A＝sin2B，∴sin Acos A＋cos2B＝sin2B＋cos2B＝1.
答案 D
5. 在中，角所对边的长分别为，若，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
解析 ，故选C.
答案 C
6．在△ABC中，sin2 A≤sin2 B＋sin2 C－sin Bsin C，则A的取值范围是( )．
A. B. C. D.
解析 由已知及正弦定理有a2≤b2＋c2－bc，而由余弦定理可知a2＝b2＋c2－2bccos A，于是可得b2＋c2－2bccos A≤b2＋c2－bc，可得cos A≥，注意到在△ABC中，0＜A＜π，故A∈.
答案 C
7．若△ABC的内角A、B、C所对的边a、b、c满足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60°，则ab的值为( )．
A. B．8－4 C．1 D.
解析 依题意得，两式相减得ab＝，选A.
答案 A
二、填空题
8．如图，△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝2，点D在BC边上，∠ADC＝45°，则AD的长度等于________．
解析 在△ABC中，∵AB＝AC＝2，BC＝2，∴cos C＝，∴sin C＝；在△ADC中，由正弦定理得，＝， ∴AD＝×＝.
答案
9. 在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且a＝2csin A，角C＝________.
解析：根据正弦定理，＝，
由a＝2csin A，得＝，
∴sin C＝，而角C是锐角．∴角C＝.
答案：
10.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若三边的长为连续的三个正整数，且A＞B＞C，3b=20acosA，则sinA∶sinB∶sinC为______．
答案 6∶5∶4
11．若AB＝2，AC＝BC，则S△ABC的最大值________．
解析 (数形结合法)因为AB＝2(定长)，可以令AB所在的直线为x轴，其中垂线为y轴建立直角坐标系，则A(－1,0)，B(1,0)，设C(x，y)，由AC＝BC，
得 ＝ ，化简得(x－3)2＋y2＝8，
即C在以(3,0)为圆心，2为半径的圆上运动，
所以S△ABC＝·|AB|·|yC|＝|yC|≤2，故答案为2.
答案 2
12．在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＋＝6cos C，则＋的值是________．
解析 法一 取a＝b＝1，则cos C＝，由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C＝，∴c＝，在如图所示的等腰三角形ABC中，可得tan A＝tan B＝，又sin C＝，tan C＝2，∴＋＝4.
法二 由＋＝6cos C，得＝6·，
即a2＋b2＝c2，∴＋＝tan C＝
＝＝4.
答案 4
三、解答题
13．叙述并证明余弦定理．
解析 余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦之积的两倍．或：在△ABC中，a，b，c为A，B，C的对边，有a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝c2＋a2－2cacos B，c2＝a2＋b2－2abcos C，
法一 如图(1)，
图(1)
a2＝·
＝(－)·(－)
＝2－2·＋2
＝2－2||·||cos A＋2
＝b2－2bccos A＋c2，即a2＝b2＋c2－2bccos A.
同理可证b2＝c2＋a2－2cacos B，c2＝a2＋b2－2abcos C.
法二
图(2)
已知△ABC中A，B，C所对边分别为a，b，c，以A为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系，如图(2)则C(bcos A，bsin A)，B(c,0)，
∴a2＝|BC|2＝(bcos A－c)2＋(bsin A)2
＝b2cos2A－2bccos A＋c2＋b2sin2A
＝b2＋c2－2bccos A.
同理可证b2＝c2＋a2－2cacos B，
c2＝a2＋b2－2abcos C.
14．在△ABC中，a、b、c分别为A、B、C的对边，B＝，b＝，a＋c＝4，求a.
解析：由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B
＝a2＋c2－2accos
＝a2＋c2＋ac＝(a＋c)2－ac.
又∵a＋c＝4，b＝，∴ac＝3.
联立
解得a＝1或a＝3.
15.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA=acosB.
（1）求角B的大小；
（2）若b=3，sinC=2sinA，求a，c的值.
16．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知＝.
(1)求的值；
(2)若cos B＝，△ABC的周长为5，求b的长．
解析 (1)由正弦定理，设＝＝＝k，
则＝＝，
所以＝.
即(cos A－2cos C)sin B＝(2sin C－sin A)cos B，
化简可得sin(A＋B)＝2sin(B＋C)．
又A＋B＋C＝π，
所以sin C＝2sin A，因此＝2.
(2)由＝2得c＝2a.
由余弦定理及cos B＝得
b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋4a2－4a2×＝4a2.
所以b＝2a.又a＋b＋c＝5.从而a＝1，因此b＝2.
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