6.3 等比数列及其前n项和
一、选择题
1.＋1与－1两数的等比中项是( )
A．1 B．－1
C．±1 D.
解析：设等比中项为x，
则x2＝(＋1)(－1)＝1，即x＝±1.
答案：C
2．设{an}是任意等比数列，它的前n项和，前2n项和与前3n项和分别为X，Y，Z，则下列等式中恒成立的是( )．
A．X＋Z＝2Y B．Y(Y－X)＝Z(Z－X)
C．Y2＝XY D．Y(Y－X)＝X(Z－X)
解析 (特例法)取等比数列1,2,4，令n＝1得X＝1，Y＝3，Z＝7代入验算，选D.
答案 D
3．若等比数列{an}满足anan＋1＝16n，则公比为( )．
A．2 B．4 C．8 D．16
解析 由anan＋1＝aq＝16n＞0知q＞0，又＝q2＝＝16，∴q＝4.
答案 B
4．等比数列{an}中，a2＝3，a7·a10＝36，则a15＝( )
A．12 B．－12 C．6 D．－6
解析 由等比数列的性质，有a2·a15＝a7·a10＝36，则a15＝＝12，故选A.
答案 A
5．已知等比数列{an}的前n项和Sn＝t·5n－2－，则实数t的值为( )．
A．4 B．5 C. D.
解析 ∵a1＝S1＝t－，a2＝S2－S1＝t，a3＝S3－S2＝4t，∴由{an}是等比数列知2＝·4t，显然t≠0，所以t＝5.
答案 B
6. 已知为等比数列，，，则（ ）
A．7 B．5 C． D．-7
解析 ，
答案 D
7．已知方程(x2－mx＋2)(x2－nx＋2)＝0的四个根组成以为首项的等比数列，则＝( )．
A. B.或
C. D．以上都不对
解析 设a，b，c，d是方程(x2－mx＋2)(x2－nx＋2)＝0的四个根，不妨设a＜c＜d＜b，则a·b＝c·d＝2，a＝，故b＝4，根据等比数列的性质，得到：c＝1，d＝2，则m＝a＋b＝，n＝c＋d＝3，或m＝c＋d＝3，n＝a＋b＝，
则＝或＝.
答案 B
二、填空题
8．设1＝a1≤a2≤…≤a7，其中a1，a3，a5，a7成公比为q的等比数列，a2，a4，a6成公差为1的等差数列，则q的最小值是________．
解析 设a2＝t，则1≤t≤q≤t＋1≤q2≤t＋2≤q3，由于t≥1，所以q≥max{t，，}故q的最小值是.
答案
9．在等比数列{an}中，若公比q＝4，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式an＝________.
解析 由题意知a1＋4a1＋16a1＝21，解得a1＝1，
所以数列{an}的通项公式an＝4n－1.
答案 4n－1
10.等比数列{an}的前n项和为Sn，公比不为1.若a1=1，且对任意的都有an＋2＋an＋1-2an=0，则S5=_________________。
解析 由已知可得公比q=-2，则a1=1可得S5。
答案 11
11．已知各项不为0的等差数列{an}，满足2a3－a＋2a11＝0，数列{bn}是等比数列，且b7＝a7，则b6b8＝________.
解析 由题意可知，b6b8＝b＝a＝2(a3＋a11)＝4a7，
∵a7≠0，∴a7＝4，∴b6b8＝16.
答案 16
12．已知数列{xn}满足lg xn＋1＝1＋lg xn(n∈N*)，且x1＋x2＋x3＋…＋x100＝1，则lg(x101＋x102＋…＋x200)＝________.
解析 由lg xn＋1＝1＋lg xn(n∈N*)得lg xn＋1－lg xn＝1，∴＝10，∴数列{xn}是公比为10的等比数列，∴xn＋100＝xn·10100，∴x101＋x102＋…＋x200＝10100(x1＋x2＋x3＋…＋x100)＝10100，∴lg(x101＋x102＋…＋x200)＝lg 10100＝100.
答案 100
三、解答题
13．设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且数列{Sn}是以2为公比的等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求a1＋a3＋…＋a2n＋1.
解析 (1)∵S1＝a1＝1，且数列{Sn}是以2为公比的等比数列，∴Sn＝2n－1，
又当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－2(2－1)＝2n－2.
∴an＝
(2)a3，a5，…，a2n＋1是以2为首项，以4为公比的等比数列，
∴a3＋a5＋…＋a2n＋1＝＝.
∴a1＋a3＋…＋a2n＋1＝1＋＝.
14．已知等比数列{an}中，a1＝，公比q＝.
(1)Sn为{an}的前n项和，证明：Sn＝；
(2)设bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求数列{bn}的通项公式．
解析 (1)证明 因为an＝×n－1＝，Sn＝＝，所以Sn＝.
(2)bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an＝－(1＋2＋…＋n)＝－.所以{bn}的通项公式为bn＝－.
15．已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}中，b1＝a1，bn＝an－an－1(n≥2)，且an＋Sn＝n.
(1)设cn＝an－1，求证：{cn}是等比数列；
(2)求数列{bn}的通项公式．
解析 (1)证明 ∵an＋Sn＝n，①
∴an＋1＋Sn＋1＝n＋1.②
②－①得an＋1－an＋an＋1＝1，
∴2an＋1＝an＋1，∴2(an＋1－1)＝an－1，
∴＝，∴{an－1}是等比数列．
∵首项c1＝a1－1，又a1＋a1＝1.
∴a1＝，∴c1＝－，公比q＝.
又cn＝an－1，
∴{cn}是以－为首项，公比为的等比数列．
(2)由(1)可知cn＝·n－1＝－n，
∴an＝cn＋1＝1－n.
∴当n≥2时，bn＝an－an－1＝1－n－
＝n－1－n＝n.
又b1＝a1＝代入上式也符合，∴bn＝n.
16．已知两个等比数列{an}，{bn}，满足a1＝a(a＞0)，b1－a1＝1，b2－a2＝2，
b3－a3＝3.
(1)若a＝1，求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{an}唯一，求a的值．
解析 (1)设数列{an}的公比为q，则b1＝1＋a＝2，b2＝2＋aq＝2＋q，b3＝3＋aq2＝3＋q2，由b1，b2，b3成等比数列得(2＋q)2＝2(3＋q2)．
即q2－4q＋2＝0，解得q1＝2＋，q2＝2－.
所以数列{an}的通项公式为an＝(2＋)n－1或an＝(2－)n－1.
(2)设数列{an}的公比为q，则由(2＋aq)2＝(1＋a)(3＋aq2)，得aq2－4aq＋3a－1＝0(*)，
由a＞0得Δ＝4a2＋4a＞0，故方程(*)有两个不同的实根．
由数列{an}唯一，知方程(*)必有一根为0，代入(*)得a＝.
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