6.4 数列求和
一、选择题(每小题5分，共25分)
1.在等差数列中，,则的前5项和=( )
A.7 B.15 C.20 D.25
解析 .
答案 B
2．若数列{an}的通项公式是an＝(－1)n(3n－2)，则a1＋a2＋…＋a10＝( )．
A．15 B．12 C．－12 D．－15
解析 设bn＝3n－2，则数列{bn}是以1为首项，3为公差的等差数列，所以a1＋a2＋…＋a9＋a10＝(－b1)＋b2＋…＋(－b9)＋b10＝(b2－b1)＋(b4－b3)＋…＋(b10－b9)＝5×3＝15.
答案 A
3．数列1，3，5，7，…的前n项和Sn为( )．
A．n2＋1－ B．n2＋2－
C．n2＋1－ D．n2＋2－
解析 由题意知已知数列的通项为an＝2n－1＋，
则Sn＝＋＝n2＋1－.
答案 C
4．已知数列{an}的通项公式是an＝，若前n项和为10，则项数n为( )．
A．11 B．99 C．120 D．121
解析 ∵an＝＝－，∴Sn＝a1＋a2＋…＋an＝(－1)＋(－)＋…＋(－)＝－1.令－1＝10，得n＝120.
答案 C
5. 已知数列{an}的通项公式为an＝2n＋1，令bn＝(a1＋a2＋…＋an)，则数列{bn}的前10项和T10＝( )
A．70 B．75
C．80 D．85
解析 由已知an＝2n＋1，得a1＝3，a1＋a2＋…＋an＝＝n(n＋2)，
则bn＝n＋2，T10＝＝75，故选B.
答案 B
6．已知数列{an}的前n项和Sn＝an2＋bn(a、b∈R)，且S25＝100，则a12＋a14等于( )
A．16 B．8
C．4 D．不确定
解析 由数列{an}的前n项和Sn＝an2＋bn(a、b∈R)，可得数列{an}是等差数列，S25＝＝100，解得a1＋a25＝8，所以a1＋a25＝a12＋a14＝8.
答案 B
7．若数列{an}为等比数列，且a1＝1，q＝2，则Tn＝＋＋…＋的结果可化为( )．
A．1－ B．1－
C. D.
解析 an＝2n－1，设bn＝＝2n－1，则Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝＋3＋…＋2n－1＝＝.
答案 C
二、填空题
8．数列{an}的通项公式为an＝，其前n项之和为10，则在平面直角坐标系中，直线(n＋1)x＋y＋n＝0在y轴上的截距为________．
解析 由已知，得an＝＝－，则
Sn＝a1＋a2＋…＋an＝(－)＋(－)＋…＋(－)＝－1，
∴－1＝10，解得n＝120，即直线方程化为121x＋y＋120＝0，故直线在y轴上的截距为－120.
答案 －120
9．等比数列{an}的前n项和Sn＝2n－1，则a＋a＋…＋a＝________.
解析 当n＝1时，a1＝S1＝1，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1－(2n－1－1)＝2n－1，
又∵a1＝1适合上式．∴an＝2n－1，∴a＝4n－1.
∴数列{a}是以a＝1为首项，以4为公比的等比数列．
∴a＋a＋…＋a＝＝(4n－1)．
答案 (4n－1)
10．已知等比数列{an}中，a1＝3，a4＝81，若数列{bn}满足bn＝log3an，则数列的前n项和Sn＝________.
解析 设等比数列{an}的公比为q，则＝q3＝27，解得q＝3.所以an＝a1qn－1＝3×3n－1＝3n，故bn＝log3an＝n，
所以＝＝－.
则Sn＝1－＋－＋…＋－＝1－＝.
答案
11．定义运算：＝ad－bc，若数列{an}满足＝1且＝12(n∈N*)，则a3＝________，数列{an}的通项公式为an＝________.
解析 由题意得a1－1＝1,3an＋1－3an＝12即a1＝2，an＋1－an＝4.
∴{an}是以2为首项，4为公差的等差数列．
∴an＝2＋4(n－1)＝4n－2，a3＝4×3－2＝10.
答案 10 4n－2
12．已知数列{an}：，＋，＋＋，…，＋＋＋…＋，…，那么数列{bn}＝的前n项和Sn为________．
解析 由已知条件可得数列{an}的通项为
an＝＝.
∴bn＝＝＝4.
Sn＝4
＝4＝.
答案
三、解答题
13．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3＝5，S15＝225.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝2an＋2n，求数列{bn}的前n项和Tn.
解析：(1)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，
由题意，得
解得∴an＝2n－1.
(2)∵bn＝2an＋2n＝·4n＋2n，
∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn
＝(4＋42＋…＋4n)＋2(1＋2＋…＋n)
＝＋n2＋n＝·4n＋n2＋n－.
14．设{an}是公比为正数的等比数列，a1＝2，a3＝a2＋4.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设{bn}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{an＋bn}的前n项和Sn.
解析 (1)设q为等比数列{an}的公比，则由a1＝2，a3＝a2＋4得2q2＝2q＋4，即q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1(舍去)，因此q＝2.
所以{an}的通项为an＝2·2n－1＝2n(n∈N*)
(2)Sn＝＋n×1＋×2＝2n＋1＋n2－2.
15．设{an}是等差数列，{bn}是各项都为正数的等比数列，且a1＝b1＝1，a3＋b5＝21，a5＋b3＝13.
(1)求{an}，{bn}的通项公式；
(2)求数列的前n项和Sn.
解析 (1)设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，则依题意有q＞0且解得
所以an＝1＋(n－1)d＝2n－1，bn＝qn－1＝2n－1.
(2)＝，
Sn＝1＋＋＋…＋＋，①
2Sn＝2＋3＋＋…＋＋.②
②－①，得Sn＝2＋2＋＋＋…＋－
＝2＋2×－
＝2＋2×－＝6－.
16．等差数列{an}的各项均为正数，a1＝3，前n项和为Sn，{bn}为等比数列，b1＝1，且b2S2＝64，b3S3＝960.
(1)求an与bn；
(2)求＋＋…＋.
解析 (1)设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，则d为正数，an＝3＋(n－1)d，bn＝qn－1.
依题意有
解得或(舍去)
故an＝3＋2(n－1)＝2n＋1，bn＝8n－1.
(2)Sn＝3＋5＋…＋(2n＋1)＝n(n＋2)，
所以＋＋…＋＝＋＋＋…＋
＝
＝
＝－.
【点此下载】