7.1 不等关系与不等式
一、选择题
1.已知则( )
A. B. C. D.
解析 因为,都小于1且大于0,故排除C,D;又因为都是以4为底的对数,真数大,函数值也大,所以,故选B.
答案 B
2．设02，A＝＋，B＝＋，则A、B的大小关系是( )
A．A>B B．AB2，选A.
答案 A
5．若a＞0，b＞0，则不等式－b＜＜a等价于( )．
A．－＜x＜0或0＜x＜ B．－＜x＜
C．x＜－或x＞ D．x＜－或x＞
解析 由题意知a＞0，b＞0，x≠0，
(1)当x＞0时，－b＜＜a?x＞；
(2)当x＜0时，－b＜＜a?x＜－.
综上所述，不等式－b＜＜a?x＜－或x＞.
答案 D
6．已知ab≠0，那么＞1是＜1的( )．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
解析 ＞1即＞0，所以a＞b＞0，或a＜b＜0，此时＜1成立；
反之＜1，所以＞0，即a＞b，a＞0或a＜0，a＜b，
此时不能得出＞1.
答案 A
7．若a、b∈R，且ab＞0，则下列不等式中，恒成立的是( )．
A．a2＋b2＞2ab B．a＋b≥2
C.＋＞ D.＋≥2
解析 对A：当a＝b＝1时满足ab＞0，但a2＋b2＝2ab，所以A错；对B、C：当a＝b＝－1时满足ab＞0，但a＋b＜0，＋＜0，而2＞0，＞0，显然B、C不对；对D：当ab＞0时，由均值定理＋＝2 ＝2.
答案 D
二、填空题
8．若a10.
答案 a1b1＋a2b2>a1b2＋a2b1
9．若x＞y，a＞b，则在①a－x＞b－y，②a＋x＞b＋y，③ax＞by，④x－b＞y－a，⑤＞这五个式子中，恒成立的所有不等式的序号是________．
解析 令x＝－2，y＝－3，a＝3，b＝2，
符合题设条件x＞y，a＞b，
∵a－x＝3－(－2)＝5，b－y＝2－(－3)＝5，
∴a－x＝b－y.因此①不成立．
又∵ax＝－6，by＝－6，∴ax＝by.因此③也不正确．
又∵＝＝－1，＝＝－1，∴＝.因此⑤不正确．
由不等式的性质可推出②④成立．
答案 ②④
10．已知－1≤x＋y≤4，且2≤x－y≤3，则z＝2x－3y的取值范围是________(用区间表示)．
解析 ∵z＝－(x＋y)＋(x－y)，
∴3≤－(x＋y)＋(x－y)≤8，
∴z∈[3,8]．
答案 [3,8]
11．若角α，β满足－＜α＜β＜，则2α－β的取值范围是________．
解析 ∵－＜α＜β＜，∴－π＜2α＜π，－＜－β＜，
∴－＜2α－β＜，又∵2α－β＝α＋(α－β)＜α＜，
∴－＜2α－β＜.
答案
12. 设 a＞b＞1， ，给出下列三个结论：
＞ ；② ＜ ； ③ ，
其中所有的正确结论的序号是 .
答案 ①②③
三、解答题
13．已知a>0，b>0，试比较M＝＋与N＝的大小．
解析 ∵M2－N2＝(＋)2－()2
＝a＋b＋2－a－b＝2>0，
∴M>N.
14．已知f(x)＝ax2－c且－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤5，求f(3)的取值范围．
解析 由题意，得
解得
所以f(3)＝9a－c＝－f(1)＋f(2)．
因为－4≤f(1)≤－1，所以≤－f(1)≤，
因为－1≤f(2)≤5，所以－≤f(2)≤.
两式相加，得－1≤f(3)≤20，
故f(3)的取值范围是[－1,20]．
15．已知a∈R，试比较与1＋a的大小．
解析 －(1＋a)＝.
①当a＝0时，＝0，∴＝1＋a.
②当a＜1且a≠0时，＞0，∴＞1＋a.
③当a＞1时，＜0，∴＜1＋a.
综上所述，当a＝0时，＝1＋a；
当a＜1且a≠0时，＞1＋a；
当a＞1时，＜1＋a.
16． (1)设x≥1，y≥1，证明x＋y＋≤＋＋xy；
(2)设1＜a≤b≤c，证明logab＋logbc＋logca≤logba＋logcb＋logac.
解析 (1)由于x≥1，y≥1，所以
x＋y＋≤＋＋xy?xy(x＋y)＋1≤y＋x＋(xy)2.
将上式中的右式减左式，得
[y＋x＋(xy)2]－[xy(x＋y)＋1]＝[(xy)2－1]－[xy(x＋y)－(x＋y)]＝(xy＋1)(xy－1)－(x＋y)(xy－1)＝(xy－1)(xy－x－y＋1)＝(xy－1)(x－1)(y－1)．
既然x≥1，y≥1，所以(xy－1)(x－1)(y－1)≥0，从而所要证明的不等式成立．
(2)设logab＝x，logbc＝y，由对数的换底公式得
logca＝，logba＝，logcb＝，logac＝xy.
于是，所要证明的不等式即为
x＋y＋≤＋＋xy
其中x＝logab≥1，y＝logbc≥1.故由(1)可知所要证明的不等式成立．
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