7.2 一元二次不等式及其解法
一、选择题
1．不等式≤0的解集是( )
A．(－∞，－1)∪(－1,2] B．(－1,2]
C．(－∞，－1)∪[2，＋∞) D．[－1,2]
解析 ∵≤0??
∴x∈(－1,2]．
答案 B
2. 若集合，则（ ）
A. B.
C. D.
解析 因为集合,所以,选B.
答案 B
3．已知不等式ax2－bx－1≥0的解集是，则不等式x2－bx－a＜0的解集是( )．
A．(2,3) B．(－∞，2)∪(3，＋∞)
C. D.∪
解析 由题意知－，－是方程ax2－bx－1＝0的根，所以由根与系数的关系得－＋＝，－×＝－.解得a＝－6，b＝5，不等式x2－bx－a＜0即为x2－5x＋6＜0，解集为(2,3)．
答案 A
4. 已知全集U为实数集R，集合A＝，集合?UA＝{y|y＝x，
x∈[－1,8]}，则实数m的值为( )
A．2 B．－2
C．1 D．－1
解析 集合?UA＝＝[－1,2]，故不等式>0，
即不等式(x＋1)(x－m)>0的解集为(－∞，－1)∪(m，＋∞)，所以m＝2.
答案 A
5．在R上定义运算⊙：a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足x⊙(x－2)＜0的实数x的取值范围为( )．
A．(0,2) B．(－2,1)
C．(－∞，－2)∪(1，＋∞) D．(－1,2)
解析 根据给出的定义得x⊙(x－2)＝x(x－2)＋2x＋(x－2)＝x2＋x－2＝(x＋2)(x－1)，又x⊙(x－2)＜0，则(x＋2)(x－1)＜0，故这个不等式的解集是
(－2,1)．
答案 B
6．对于实数x，规定[x]表示不大于x的最大整数，那么不等式4[x]2－36[x]＋45＜0成立的x的取值范围是( )．
A. B．[2,8] C．[2,8) D．[2,7]
解析 由4[x]2－36[x]＋45＜0，得＜[x]＜，又[x]表示不大于x的最大整数，所以2≤x＜8.
答案 C
7．设函数f(x)＝若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝0，则关于x的不等式f(x)≤1的解集为( )．
A．(－∞，－3]∪[－1，＋∞) B．[－3，－1]
C．[－3，－1]∪(0，＋∞) D．[－3，＋∞)
解析 当x≤0时，f(x)＝x2＋bx＋c且f(－4)＝f(0)，故其对称轴为x＝－＝－2，∴b＝4.又f(－2)＝4－8＋c＝0，∴c＝4，当x≤0时，令x2＋4x＋4≤1有－3≤x≤－1；当x＞0时，f(x)＝－2≤1显然成立，故不等式的解集为
[－3，－1]∪(0，＋∞)．
答案 C
二、填空题
8．不等式|x＋1|－|x－3|≥0的解集是________．
解析 原不等式等价于或或解得1≤x≤3或x＞3，故原不等式的解集为{x|x≥1}．
答案 {x|x≥1}
9．已知函数f(x)＝则满足不等式f(1－x2)＞f(2x)的x的取值范围是________．
解析 由函数f(x)的图象可知(如下图)，满足f(1－x2)＞f(2x)分两种情况：
①?0≤x＜－1.
②?－1＜x＜0.
综上可知：－1＜x＜－1.
答案 (－1，－1)
10．若关于x的不等式x2＋x－()n≥0对任意n∈N*在x∈(－∞，λ]上恒成立，则实常数λ的取值范围是________．
解析 由题意得x2＋x≥()＝，
∴x≥或x≤－1.
又x∈(－∞，λ]，∴λ∈(－∞，－1]．
答案 (－∞，－1]
11．已知f(x)＝则不等式f(x)≤2的解集是________．
解析 依题意得或解得x∈(－∞，－2]∪[1,2]∪.
答案 (－∞，－2]∪[1,2]∪
12．若不等式2x－1＞m(x2－1)对满足－2≤m≤2的所有m都成立，则x的取值范围为________．
解析 (等价转化法)将原不等式化为：m(x2－1)－(2x－1)＜0.令f(m)＝m(x2－1)－(2x－1)，则原问题转化为当－2≤m≤2时，f(m)＜0恒成立，只需即可，即解得＜x＜.
答案
【点评】 本题用改变主元的办法，将m视为主变元，即“反客为主”法，把较复杂问题转化为较简单问题、较常见问题来解决.
三、解答题
13．已知f(x)＝2x2－4x－7，求不等式≥－1的解集．
解析 原不等式可化为≥－1，
等价于≤1，
即－1≤0，
即≤0.
由于x2－2x＋1＝(x－1)2≥0.
所以原不等式等价于即
所以原不等式的解集为{x|－2≤x<1或1
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