9.1 直线的方程
一、选择题
1．已知直线l的倾斜角α满足条件sinα＋cosα＝，则l的斜率为( )
A. B. C．－ D．－
解析 α必为钝角，且sinα的绝对值大，故选C.
答案 C
2．经过两点A(4,2y＋1)，B(2，－3)的直线的倾斜角为，则y＝( )．
A．－1 B．－3 C．0 D．2
解析 由＝＝y＋2，
得：y＋2＝tan ＝－1.∴y＝－3.
答案 B
3. 若PQ是圆的弦，PQ的中点是（1,2）,则直线PQ的方程是（ ）
A． B． C． D．
答案 B
4．若直线(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y＝4m－1在x轴上的截距为1，则实数m是( )
A．1 B．2
C．－ D．2或－
解析 令y＝0则(2m2＋m－3)x＝4m－1，
∴x＝＝1.
∴m＝2或－.
答案 D
5．设直线l的方程为x＋ycos θ＋3＝0(θ∈R)，则直线l的倾斜角α的范围是( )．
A．[0，π) B.
C. D.∪
解析 (直接法或筛选法)当cos θ＝0时，方程变为x＋3＝0，其倾斜角为；
当cos θ≠0时，由直线方程可得斜率k＝－.
∵cos θ∈[－1,1]且cos θ≠0，
∴k∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)．
∴tan α∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，
又α∈[0，π)，∴α∈∪.
综上知，倾斜角的范围是.
答案 C
【点评】 本题也可以用筛选法．取α＝，即cos θ＝0成立，排除B、D，再取α＝0，斜率tan α＝－＝0不成立，排除A.
6．若直线ax＋by＋c＝0经过第一、二、三象限，则有( )．
A．ab＞0，bc＞0 B．ab＞0，bc＜0
C．ab＜0，bc＞0 D．ab＜0，bc＜0
解析 数形结合可知－＞0，－＞0，即ab＜0，bc＜0.
答案 D
7．已知点A(1,3)，B(－2，－1)．若直线l：y＝k(x－2)＋1与线段AB相交，则k的取值范围是( )．
A．k≥ B．k≤－2
C．k≥或k≤－2 D．－2≤k≤
解析 (数形结合法)由已知直线l恒过定点P(2,1)，如右图．
若l与线AB相交，
则kPA≤k≤kPB，∵kPA＝－2，kPB＝，∴－2≤k≤.
答案 D
【点评】 本题采用数形结合法，即通过图形观察过点P的直线l的斜率与直线PA、PB的斜率大小.
二、填空题
8．若A(－2,3)，B(3，－2)，C(，m)三点共线，则m的值为________．
解析 由kAB＝kBC，即＝，得m＝.
答案
9．直线过点(2，－3)，且在两个坐标轴上的截距互为相反数，则这样的直线方程是________．
解析 设直线方程为为－＝1或y＝kx的形式后，代入点的坐标求得a＝5和
k＝－.
答案 y＝－x或－＝1
10. 若是直线的一个方向向量，则的倾斜角的大小为???______．
（结果用反三角函数值表示）.
解析 设直线的倾斜角为，则.
答案 ?
11．不论m取何值，直线(m－1)x－y＋2m＋1＝0，恒过定点________．
解析 (回顾检验法)把直线方程(m－1)x－y＋2m＋1＝0，
整理得：(x＋2)m－(x＋y－1)＝0，
则得
答案 (－2,3)
12．若A(a,0)，B(0，b)，C(－2，－2)，(ab≠0)三点共线，则＋的值为________．
解析 由题意知：＝，整理得：2a＋2b＝－ab.
∴＋＝－.
答案 －
三、解答题
13．已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l的方程：
(1)过定点A(－3,4)；(2)斜率为.
解析：(1)设直线l的方程是y＝k(x＋3)＋4，它在x轴，y轴上的截距分别是
－－3,3k＋4，
由已知，得(3k＋4)(＋3)＝±6，
解得k1＝－或k2＝－.
故直线l的方程为2x＋3y－6＝0或8x＋3y＋12＝0.
(2)设直线l在y轴上的截距为b，则直线l的方程是y＝x＋b，
它在x轴上的截距是－6b，
由已知，得|－6b·b|＝6，∴b＝±1.
∴直线l的方程为x－6y＋6＝0或x－6y－6＝0.
14．设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)．
(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；
(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．
解析 (1)当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距为零，当然相等．
∴a＝2，方程即为3x＋y＝0.
当直线不过原点时，由截距存在且均不为0，
得＝a－2，即a＋1＝1，
∴a＝0，方程即为x＋y＋2＝0.
综上，l的方程为3x＋y＝0或x＋y＋2＝0.
(2)将l的方程化为y＝－(a＋1)x＋a－2，
∴或
∴a≤－1.
综上可知a的取值范围是a≤－1.
15．已知△ABC中，A(1，－4)，B(6,6)，C(－2,0)．求：
(1)△ABC中平行于BC边的中位线所在直线的一般式方程和截距式方程；
(2)BC边的中线所在直线的一般式方程，并化为截距式方程．
解析 (1)平行于BC边的中位线就是AB、AC中点的连线．
因为线段AB、AC中点坐标为，，
所以这条直线的方程为＝，
整理得，6x－8y－13＝0，化为截距式方程为－＝1.
(2)因为BC边上的中点为(2,3)，
所以BC边上的中线所在直线的方程为＝，即7x－y－11＝0，
化为截距式方程为－＝1.
16．已知直线l过点M(2,1)，且分别与x轴、y轴的正半轴交于A、B两点，O为原点，是否存在使△ABO面积最小的直线l？若存在，求出；若不存在，请说明理由．
解析 存在．理由如下．
设直线l的方程为y－1＝k(x－2)(k＜0)，则A，B(0,1－2k)，
AOB的面积S＝(1－2k)＝≥(4＋4)＝4.
当且仅当－4k＝－，即k＝－时，等号成立，
故直线l的方程为y－1＝－(x－2)，即x＋2y－4＝0.
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