9.3 圆的方程
一、选择题
1．已知点A(1，－1)，B(－1,1)，则以线段AB为直径的圆的方程是( )．
A．x2＋y2＝2 B．x2＋y2＝
C．x2＋y2＝1 D．x2＋y2＝4
解析 AB的中点坐标为：(0,0)，
|AB|＝＝2，
∴圆的方程为：x2＋y2＝2.
答案 A
2．以抛物线y2＝4x的焦点为圆心，半径为2的圆的方程为( )
A．x2＋y2－2x－1＝0 B．x2＋y2－2x－3＝0
C．x2＋y2＋2x－1＝0 D．x2＋y2＋2x－3＝0
解析 ∵抛物线y2＝4x的焦点是(1,0)，∴圆的标准方程是(x－1)2＋y2＝4.展开得x2＋y2－2x－3＝0.
答案 B
3．已知圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1，圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则圆C2的方程为( )
A．(x＋2)2＋(y－2)2＝1
B．(x－2)2＋(y＋2)2＝1
C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝1
D．(x－2)2＋(y－2)2＝1
解析 只要求出圆心关于直线的对称点，就是对称圆的圆心，两个圆的半径不变．设圆C2的圆心为(a，b)，则依题意，有
解得对称圆的半径不变，为1.
答案 B
4．直线y＝x－1上的点到圆x2＋y2＋4x－2y＋4＝0的最近距离为( )
A．2 B.－1
C．2－1 D．1
解析 圆心(－2,1)到已知直线的距离为d＝2，圆的半径为r＝1，
故所求距离dmin＝2－1.
答案 C
5．点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( )．
A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4
C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4 D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1
解析 设圆上任一点为Q(x0，y0)，PQ的中点为M(x，y)，则解得因为点Q在圆x2＋y2＝4上，所以x＋y＝4，即(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4，即(x－2)2＋(y＋1)2＝1.
答案 A
6．若圆(x－3)2＋(y＋5)2＝r2上有且只有两个点到直线4x－3y－2＝0的距离等于1，则半径r的取值范围是( )．
A．(4,6) B．[4,6) C．(4,6] D．[4,6]
解析 因为圆心(3，－5)到直线4x－3y－2＝0的距离为5，所以当半径r＝4时，圆上有1个点到直线4x－3y－2＝0的距离等于1，当半径r＝6时，圆上有3个点到直线4x－3y－2＝0的距离等于1，所以圆上有且只有两个点到直线4x－3y－2＝0的距离等于1时，4＜r＜6.
答案 A
7．如右图，一个直径为1的小圆沿着
直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动，M和N是z
小圆的一条固定直径的两个端点．那么，当小圆这
样滚过大圆内壁的一周，点M，N在大圆内所绘出的
图形大致是( )．
解析 如图，建立直角坐标系，由题意可知，小圆O1总与大圆O相内切，且小圆O1总经过大圆的圆心O.设某时刻两圆相切于点A，此时动点M所处位置为点M′，则大圆圆弧 的长与小圆圆弧 的长之差为0或2π.
切点A在三、四象限的差为0，在一、二象限的差为2π.
以切点A在第三象限为例，记直线OM与此时小圆O1的交点为M1，记∠AOM＝θ，则∠OM1O1＝∠M1OO1＝θ，故∠M1O1A＝∠M1OO1＋∠OM1O1＝2θ.大圆圆弧 的长为l1＝θ×2＝2θ，小圆圆弧 的长为l2＝2θ×1＝2θ，则l1＝l2，即小圆的两段圆弧 与 的长相等，故点M1与点M′重合．即动点M在线段MO上运动，同理可知，此时点N在线段OB上运动．点A在其他象限类似可得，故M，N的轨迹为相互垂直的线段．
观察各选项知，只有选项A符合．故选A.
答案 A
二、填空题
8．已知圆C经过A(5,1)，B(1,3)两点，圆心在x轴上，则C的方程为________．
解析 线段AB的中垂线方程为2x－y－4＝0，与x轴的交点(2,0)即为圆心C的坐标，所以半径为|CB|＝，所以圆C的方程为(x－2)2＋y2＝10.
答案 (x－2)2＋y2＝10
9．过两点A(0,4)，B(4,6)，且圆心在直线x－2y－2＝0上的圆的标准方程是________．
解析 设圆心坐标为(a，b)，圆半径为r，则圆方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
∵圆心在直线x－2y－2＝0上，∴a－2b－2＝0，①
又∵圆过两点A(0,4)，B(4,6)，∴(0－a)2＋(4－b)2＝r2，②且(4－a)2＋(6－b)2＝r2，③
由①②③得：a＝4，b＝1，r＝5，
∴圆的方程为(x－4)2＋(y－1)2＝25.
答案 (x－4)2＋(y－1)2＝25
10．已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，点A(0，－1)，B(0,1)．P是圆C上的动点，当|PA|2＋|PB|2取最大值时，点P的坐标是________．
解析 设P(x0，y0)，则|PA|2＋|PB|2＝x＋(y0＋1)2＋x＋(y0－1)2＝2(x＋y)＋2，
显然x＋y的最大值为(5＋1)2，
∴dmax＝74，此时＝－6，结合点P在圆上，解得点P的坐标为.
答案
11．已知两点A(－2,0)，B(0,2)，点C是圆x2＋y2－2x＝0上任意一点，则△ABC面积的最小值为________．
解析 lAB：x－y＋2＝0，圆心(1,0)到lAB的距离d＝＝，∴AB边上的高的最小值为－1.
∴Smin＝×(2)×＝3－.
答案 3－
12．设圆C同时满足三个条件：①过原点；②圆心在直线y＝x上；③截y轴所得的弦长为4，则圆C的方程是________．
解析 由题意可设圆心A(a，a)，如图，则22＋22＝2a2，解得a＝±2，r2＝2a2＝8.所以圆C的方程是(x＋2)2＋(y＋2)2＝8或(x－2)2＋(y－2)2＝8.
答案 (x＋2)2＋(y＋2)2＝8或(x－2)2＋(y－2)2＝8.
三、解答题
13．经过三点A(1,12)，B(7,10)，C(－9,2)的圆的标准方程．
解 法一 设圆的一般方程为：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
则
解得D＝－2，E＝－4，F＝－95，
∴所求圆的方程为x2＋y2－2x－4y－95＝0，
即圆的标准方程为：(x－1)2＋(y－2)2＝100.
法二 由A(1,12)，B(7,10)，得A、B的中点坐标为(4,11)，
kAB＝－，则AB的中垂线方程为：3x－y－1＝0.
同理得AC的中垂线方程为x＋y－3＝0，
联立得
即圆心坐标为(1,2)，半径r＝＝10.
∴所求圆的标准方程为：(x－1)2＋(y－2)2＝100.
14．已知圆C的方程为x2＋y2＋(m－2)x＋(m＋1)y＋m－2＝0，根据下列条件确定实数m的取值，并写出相应的圆心坐标和半径．
(1)圆的面积最小；
(2)圆心距离坐标原点最近．
解析 (1)因为(m－2)2＋(m＋1)2－4(m－2)＝2m2－6m＋13＝22＋>0恒成立，无论m为何值，方程总表示圆．圆心坐标，圆的半径为r＝.
圆的半径最小时，面积最小，
r＝＝≥，
当且仅当m＝时，等号成立，此时面积最小．
所以当圆的面积最小时，圆心坐标为，半径r＝.
(2)圆心到坐标原点的距离d＝≥.当且仅当m＝时，距离最近．此时，圆心坐标为，半径r＝.
15．求与x轴相切，圆心在直线3x－y＝0上，且被直线x－y＝0截得的弦长为2的圆的方程．
解析 法一 设所求的圆的方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
则圆心(a，b)到直线x－y＝0的距离为，
∴r2＝2＋()2，
即2r2＝(a－b)2＋14，①
由于所求的圆与x轴相切，∴r2＝b2.②
又因为所求圆心在直线3x－y＝0上，
∴3a－b＝0.③
联立①②③，解得
a＝1，b＝3，r2＝9或a＝－1，b＝－3，r2＝9.
故所求的圆的方程是
(x－1)2＋(y－3)2＝9或(x＋1)2＋(y＋3)2＝9.
法二 设所求的圆的方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
圆心为，半径为.
令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0，
由圆与x轴相切，得Δ＝0，即D2＝4F.
又圆心到直线x－y＝0的距离为.
由已知，得2＋()2＝r2，
即(D－E)2＋56＝2(D2＋E2－4F)⑤
又圆心在直线3x－y＝0上，
∴3D－E＝0.⑥
联立④⑤⑥，解得
D＝－2，E＝－6，F＝1或D＝2，E＝6，F＝1.
故所求圆的方程是x2＋y2－2x－6y＋1＝0，或x2＋y2＋2x＋6y＋1＝0.
16．已知点A(－3,0)，B(3,0)，动点P满足|PA|＝2|PB|.
(1)若点P的轨迹为曲线C，求此曲线的方程；
(2)若点Q在直线l1：x＋y＋3＝0上，直线l2经过点Q且与曲线C只有一个公共点M，求|QM|的最小值．
思路分析 第(2)问画出曲线C及l1的图象，结合条件断定|QM|取最小值的情况．
解析 (1)设点P的坐标为(x，y)，
则＝2.
化简可得(x－5)2＋y2＝16，此即为所求．
(2)曲线C是以点(5,0)为圆心，4为半径的圆，如图，
由直线l2是此圆的切线，连接CQ，
则|QM|＝＝，
当CQ⊥l1时，|CQ|取最小值，
|CQ|＝＝4，
此时|QM|的最小值为＝4.
【点评】 解决有关圆的最值问题一般要“数”与“形”结合，根据圆的知识探求最值时的位置关系．解析几何中数形结合思想主要表现在以下两方面：
(1)构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题；
(2)研究图形的形状、位置关系、性质等．
【点此下载】