第三章 章末检测
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1.(2010·泰安高三二模)如图，函数y＝f(x)的图象在点P(5，f(5))处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f′(5)等于 ( )
A. B．1
C．2 D．0
2．函数f(x)＝ax3－x在(－∞，＋∞)上是减函数，则 ( )
A．a<1 B．a<
C．a<0 D．a≤0
3．(2011·洛阳模拟)已知f(x)＝，且f(x－1)的图象的对称中心是(0,3)，则f′(2)的值为 ( )
A．－ B.
C．－ D.
4．若函数f(x)＝exsin x，则此函数图象在点(4，f(4))处的切线的倾斜角为 ( )
A. B．0 C．钝角 D．锐角
5．(2010·山东)已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为 ( )
A．13万件 B．11万件
C．9万件 D．7万件
6．已知f(x)＝2x3－6x2＋a (a是常数)在[－2,2]上有最大值3，那么在[－2,2]上f(x)的最小值是 ( )
A．－5 B．－11
C．－29 D．－37
7．(2010·江西) 如图，一个正五角形薄片(其对称轴与水面垂直)匀速地升出水面，记t时刻五角星露出水面部分的图形面积为S(t) (S(0)＝0)，则导函数y＝S′(t)的图象大致( )
8．已知x≥0，y≥0，x＋3y＝9，则x2y的最大值为 ( )
A．36 B．18
C．25 D．42
9．(2011·合肥模拟)已知R上可导函数f(x)的图象如图所示，则不等式(x2－2x－3)f′(x)>0的解集为 ( )
A．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
B．(－∞，－2)∪(1,2)
C．(－∞，－1)∪(－1,0)∪(2，＋∞)
D．(－∞，－1)∪(－1,1)∪(3，＋∞)
10.如图所示的曲线是函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的大致图象，则x＋x等于 ( )
A. B.
C. D.
11．(2010·宝鸡高三检测三)已知f′(x)是f(x)的导函数，在区间[0，＋∞)上f′(x)>0，且偶函数f(x)满足f(2x－1)0的解集是{x|00时，≥3x2在(－∞，＋∞)上恒成立，这样的a不存在；
a<0时，≤3x2在(－∞，＋∞)上恒成立，而3x2≥0，
∴a<0.综上，a≤0.]
3．B [f(x)＝a＋1－，中心为(－1，a＋1)，由f(x－1)的中心为(0,3)知f(x)的中心为(－1,3)，∴a＝2.
∴f(x)＝3－.
∴f′(x)＝.∴f′(2)＝.]
4．C [f′(x)＝exsin x＋excos x
＝ex(sin x＋cos x)＝exsin，
f′(4)＝e4sin<0，
则此函数图象在点(4，f(4))处的切线的倾斜角为钝角．]
5．C [∵y′＝－x2＋81，令y′＝0得x＝9(x＝－9舍去)．
当09时，y′<0，f(x)为减函数．
∴当x＝9时，y有最大值．]
6．D [f′(x)＝6x2－12x，若f′(x)>0，
则x<0或x>2，又f(x)在x＝0处连续，
∴f(x)的增区间为[－2,0)．
同理f′(x)<0，得减区间(0,2]．
∴f(0)＝a最大．
∴a＝3，即f(x)＝2x3－6x2＋3.
比较f(－2)，f(2)得f(－2)＝－37为最小值．]
7．A [利用排除法．
∵露出水面的图形面积S(t)逐渐增大，
∴S′(t)≥0，排除B.
记露出最上端小三角形的时刻为t0.
则S(t)在t＝t0处不可导．排除C、D，故选A.]
8．A [由x＋3y＝9，得y＝3－≥0，∴0≤x≤9.
将y＝3－代入u＝x2y，
得u＝x2＝－＋3x2.
u′＝－x2＋6x＝－x(x－6)．
令u′＝0，得x＝6或x＝0.
当00；60，在(－1,1)上f′(x)<0.
由(x2－2x－3)f′(x)>0，
得或
即或，
所以不等式的解集为(－∞，－1)∪(－1,1)∪(3，＋∞)．]
10．C [由图象知f(x)＝x(x＋1)(x－2)
＝x3－x2－2x＝x3＋bx2＋cx＋d，
∴b＝－1，c＝－2，d＝0.
而x1，x2是函数f(x)的极值点，故x1，x2是f′(x)＝0，
即3x2＋2bx＋c＝0的根，
∴x1＋x2＝－，x1x2＝，
x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2
＝b2－＝.]
11．A [∵x∈[0，＋∞)，f′(x)>0，
∴f(x)在[0，＋∞)上单调递增，
又因f(x)是偶函数，∴f(2x－1)0，
∴ln x＋1>0，ln x>－1，
∴x>.∴递增区间为.
14．f(3)0恒成立，
所以f(x)在上为增函数，
f(2)＝f(π－2)，f(3)＝f(π－3)，
且0<π－3<1<π－2<，
所以f(π－3)0?(2x－x2)ex>0
?2x－x2>0?0或x<－，
由f′(x)>0，得－0，f(x)为增函数；
当x∈时，f′(x)<0，f(x)为减函数；
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)为增函数．…………………………………………(4分)
所以f(x)的递增区间为和(1，＋∞)，
f(x)的递减区间为.……………………………………………………………(6分)
(2)当x∈[－1,2]时，f(x)7.………………………………………………………………………………(10分)
18．解 (1)设切线的斜率为k，
则k＝f′(x)＝2x2－4x＋3＝2(x－1)2＋1，
当x＝1时，kmin＝1.………………………………………………………………………(3分)
又f(1)＝，∴所求切线的方程为y－＝x－1，
即3x－3y＋2＝0.………………………………………………………………………(6分)
(2)f′(x)＝2x2－4ax＋3，要使y＝f(x)为单调递增函数，必须满足f′(x)≥0，即对任意的x∈(0，＋∞)，恒有f′(x)≥0，f′(x)＝2x2－4ax＋3≥0，∴a≤＝＋，而＋≥，当且仅当x＝时，等号成立．……………………………………………………………(10分)
∴a≤，又∵a∈Z，
∴满足条件的最大整数a为1.…………………………………………………………(12分)
19．解 (1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝ln x＋1，……………………………(2分)
令f′(x)＝0，得x＝，
当x∈(0，＋∞)时，f′(x)，f(x)的变化的情况如下：
x
f′(x)
－
0
＋
f(x)
极小值
…………………………………………………………………………………………(5分)
所以，f(x)在(0，＋∞)上的极小值是f＝－.……………………………………(6分)
(2)当x∈，f(x)单调递减且f(x)的取值范围是；
当x∈时，f(x)单调递增且f(x)的取值范围是.………………(8分)
令y＝f(x)，y＝m，两函数图象交点的横坐标是f(x)－m＝0的解，由(1)知当m<－时，原方程无解；
由f(x)的单调区间上函数值的范围知，
当m＝－或m≥0时，原方程有唯一解；
当－0时，①成立，
即成立，解得00，
f(x)在区间(64,640)内为增函数，………………………………………………………(10分)
所以f(x)在x＝64处取得最小值，
此时，n＝－1＝－1＝9.
故需新建9个桥墩才能使y最小．……………………………………………………(12分)
22．解 (1)因为f′(x)＝ex－1(2x＋x2)＋3ax2＋2bx
＝xex－1(x＋2)＋x(3ax＋2b)，
又x＝－2和x＝1为f(x)的极值点，
所以f′(－2)＝f′(1)＝0，
因此…………………………………………………………………(3分)
解方程组得………………………………………………………………(4分)
(2)因为a＝－，b＝－1，
所以f′(x)＝x(x＋2)(ex－1－1)，
令f′(x)＝0，解得x1＝－2，x2＝0，x3＝1.……………………………………………(6分)
因为当x∈(－∞，－2)∪(0,1)时，f′(x)<0；
当x∈(－2,0)∪(1，＋∞)时，f′(x)>0.
所以f(x)在(－2,0)和(1，＋∞)上是单调递增的；
在(－∞，－2)和(0,1)上是单调递减的．………………………………………………(8分)
(3)由(1)可知f(x)＝x2ex－1－x3－x2，
故f(x)－g(x)＝x2ex－1－x3
＝x2(ex－1－x)，
令h(x)＝ex－1－x，则h′(x)＝ex－1－1.…………………………………………………(9分)
令h′(x)＝0，得x＝1，
因为x∈(－∞，1]时，h′(x)≤0，
所以h(x)在x∈(－∞，1]上单调递减．
故x∈(－∞，1]时，h(x)≥h(1)＝0.
因为x∈[1，＋∞)时，h′(x)≥0，
所以h(x)在x∈[1，＋∞)上单调递增．
故x∈[1，＋∞)时，h(x)≥h(1)＝0.……………………………………………………(11分)
所以对任意x∈(－∞，＋∞)，恒有h(x)≥0，
又x2≥0，因此f(x)－g(x)≥0，
故对任意x∈(－∞，＋∞)，
恒有f(x)≥g(x)．…………………………………………………………………………(12分)
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