L单元　算法初步与复数 L1　算法与程序框图　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
图1－1 5．L1[2013·新课标全国卷Ⅰ] 执行如图1－1所示的程序框图，如果输入的t∈[－1，3]，则输出的s属于(　　) A．[－3，4] B．[－5，2] C．[－4，3] D．[－2，5] 5．A　[解析] 由框图可知，当t∈[－1，1)时，s＝3t，故此时s∈[－3，3)；当t∈[1，3]时，s＝4t－t2＝－(t－2)2＋4，故此时s∈[3，4]，综上，s∈[－3，4]． 5．L1、L2[2013·安徽卷] 某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86，94，88，92，90，五名女生的成绩分别为88，93，93，88，93.下列说法一定正确的是(　　) A．这种抽样方法是一种分层抽样 B．这种抽样方法是一种系统抽样 C．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差 D．该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数 5．C　[解析] 分层抽样是按照比例的抽样，由于男女生人数不同，抽取的人数相同；系统抽样是按照一定规则的分段抽样，故题中抽样方法即不是分层抽样也不是系统抽样．又五名男生的成绩的平均数为90，方差为8，五名女生成绩的平均数是91，方差为6，但该班所有男生成绩的平均数未必小于该班所有女生成绩的平均数．故选项C中的结论正确，选项D中的结论不正确． 2．L1[2013·安徽卷] 如图1－1所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是(　　)
图1－1 A. B. C. D. 2．D　[解析] 依次运算的结果是s＝，n＝4；s＝＋，n＝6；s＝＋＋，n＝8，此时输出s，故输出结果是＋＋＝. 4．L1[2013·北京卷] 执行如图1－1所示的程序框图，输出的S的值为(　　)
图1－1 A．1 B. C. D. 4．C　[解析] 执行第一次循环时S＝＝，i＝1；第二次循环S＝＝，i＝2，此时退出循环，故选C. 6．L1[2013·福建卷] 阅读如图1－2所示的程序框图，若输入的k＝10，则该算法的功能是(　　)
图1－2 A．计算数列{2n－1}的前10项和 B．计算数列{2n－1}的前9项和 C．计算数列{2n－1}的前10项和 D．计算数列{2n－1}的前9项和 6．A　[解析] S＝0，i＝1→S＝1，i＝2→S＝1＋2，i＝3→S＝1＋2＋22，i＝4→…→S＝1＋2＋22＋…＋29，i＝11>10，故选A. 17．L1[2013·广东卷] 某车间共有12名工人，随机抽取6名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图1－4所示，其中茎为十位数，叶为个位数． (1)根据茎叶图计算样本均值： (2)日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人，根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人？ (3)从该车间12名工人中，任取2人，求恰有1名优秀工人的概率． 　　 1 7 9  2 0 1 5  3 0  图1－4 17．解： 18．L1[2013·广东卷] 如图1－5(1)，在等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝6，D，E分别是AC，AB上的点，CD＝BE＝，O为BC的中点，将△ADE沿DE折起，得到如图1－5(2)所示的四棱锥A′－BCDE，其中A′O＝. (1)证明：A′O⊥平面BCDE； (2)求二面角A′－CD－B的平面角的余弦值．
图1－5 18．解： 19．L1[2013·广东卷] 设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，＝an＋1－n2－n－，n∈N*. (1)求a2的值； (2)求数列{an}的通项公式； (3)证明：对一切正整数n，有＋＋…＋<. 19．解： 20．L1[2013·广东卷] 已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F(0，c)(c>0)到直线l：x－y－2＝0的距离为，设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点． (1)求抛物线C的方程； (2)当点P(x0，y0)为直线l上的定点时，求直线AB的方程； (3)当点P在直线l上移动时，求|AF|·|BF|的最小值． 20．解： 21．L1[2013·广东卷] 设函数f(x)＝(x－1)ex－kx2(k∈R)． (1)当k＝1时，求函数f(x)的单调区间； (2)当k∈时，求函数f(x)在[0，k]上的最大值M. 21．解： 16．L1[2013·广东卷] 已知函数f(x)＝cos，x∈R. (1)求f的值； (2)若cosθ＝，θ∈，求f. 16．解： 11．L1[2013·广东卷] 执行如图1－2所示的程序框图，若输入n的值为4，则输出s的值为________．
图1－2 11．7　[解析] 1≤4，s＝1＋0＝1，i＝2；2≤4，s＝1＋1＝2，i＝3；3≤4，s＝2＋2＝4，i＝4；4≤4，s＝4＋3＝7，i＝5；5>4，故输出s＝7. 12．L1[2013·湖北卷] 阅读如图1－4所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果i＝________.
图1－4 12．5　[解析] 逐次运算结果是a＝5，i＝2；a＝16，i＝3；a＝8，i＝4；a＝4，i＝5，满足条件，输出i＝5. 13．L1[2013·湖南卷] 执行如图1－3所示的程序框图，如果输入a＝1，b＝2，则输出的a的值为________．
图1－3 13．9　[解析] 根据程序框图所给流程依次可得，a＝1，b＝2，①a＝3，②a＝5，③a＝7，④a＝9，满足条件输出a＝9. 5．L1[2013·江苏卷] 如图1－1是一个算法的流程图，则输出的n的值是________．
图1－1 5．3　[解析] 逐一代入可得 n 1 2 3  a 2 8 26  a<20 Y Y N  当a＝26>20时，n＝3，故最后输出3. 7．L1[2013·江西卷] 阅读如图1－1所示的程序框图，如果输出i＝5，那么在空白矩形框中应填入的语句为(　　)
图1－1 A．S＝2*i－2 B．S＝2*i－1 C．S＝2*i D．S＝2*i＋4 7．C　[解析] 依次检验可知选C. 13．L1[2013·山东卷]
图1－3 执行如图1－3所示的程序框图，若输入的ε的值为0.25，则输出的n的值为________． 13．3　[解析] 第一次执行循环体时，F1＝3，F0＝2，n＝1＋1＝2，＝>0.25；第二次执行循环体时，F1＝2＋3＝5，F0＝3，n＝2＋1＝3，＝<0.25，满足条件，输出n＝3. 18．L1，K6[2013·四川卷] 某算法的程序框图如图1－6所示，其中输入的变量x在1，2，3，…，24这24个整数中等可能随机产生．
图1－6 (1)分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率Pi(i＝1，2，3)； (2)甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行n次后，统计记录了输出y的值为i(i＝1，2，3)的频数．以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据． 甲的频数统计表(部分) 运行     次数n 输出y的值    为1的频数 输出y的值    为2的频数 输出y的值    为3的频数     30 14 6 10  … … … …  2 100 1 027 376 697  乙的频数统计表(部分) 运行     次数n 输出y的值    为1的频数 输出y的值    为2的频数 输出y的值    为3的频数     30 12 11 7  … … … …  2 100 1 051 696 353  当n＝2 100时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出y的值为i(i＝1，2，3)的频率(用分数表示)，并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大； (3)按程序框图正确编写的程序运行3次，求输出y的值为2的次数ξ的分布列及数学期望． 18．解：(1)变量x是在1，2，3，…，24这24个整数中随机产生的一个数，共有24种可能． 当x从1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23这12个数中产生时，输出y的值为1，故P1＝； 当x从2，4，8，10，14，16，20，22这8个数中产生时，输出y的值为2，故P2＝； 当x从6，12，18，24这4个数中产生时，输出y的值为3，故P3＝， 所以，输出y的值为1的概率为，输出y的值为2的概率为，输出y的值为3的概率为. (2)当n＝2 100时，甲、乙所编程序各自输出y的值为i(i＝1，2，3)的频率如下： 输出y的值    为1的频率 输出y的值    为2的频率 输出y的值    为3的频率     甲     乙     比较频率趋势与概率，可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性较大． (3)随机变量ξ可能的取值为0，1，2，3. P(ξ＝0)＝C××＝， P(ξ＝1)＝C××＝， P(ξ＝2)＝C××＝， P(ξ＝3)＝C××＝， 故ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3  P      所以，Eξ＝0×＋1×＋2×＋3×＝1. 即ξ的数学期望为1. 3．L1[2013·天津卷] 阅读如图1－1所示的程序框图，运行相应的程序，若输入x的值为1，则输出S的值为(　　)
图1－1 A．64 B．73 C．512 D．585 3．B　[解析] 当x＝1时，S＝0＋1＝1；当x＝2时，S＝1＋23＝9；当x＝4时，S＝9＋43＝73满足题意输出．
图1－1 6．L1[2013·新课标全国卷Ⅱ] 执行如图1－1所示的程序框图，如果输入的N＝10，那么输出的S＝(　　) A．1＋＋＋…＋ B．1＋＋＋…＋ C．1＋＋＋…＋ D．1＋＋＋…＋ 6．B　[解析] k＝1，T＝1，S＝1；k＝2，T＝，S＝1＋；k＝3，T＝，S＝1＋＋； k＝4，T＝，S＝1＋＋＋，…，10>10不成立，继续循环．答案为B. 5．L1[2013·浙江卷] 某程序框图如图1－1所示，若该程序运行后输出的值是，则(　　)
图1－1 A．a＝4 B．a＝5 C．a＝6 D．a＝7 5．A　[解析] S＝1＋＋＋…＋＝1＋1－＋－＋…＋－＝1＋1－＝2－＝，故k＝4，k＝k＋1＝5，满足k>a时，即5>a时，输出S，所以a＝4，选择A. 8．L1，L2[2013·重庆卷] 执行如图1－4所示的程序框图，如果输出s＝3，那么判断框内应填入的条件是(　　)
图1－4 A．k≤6 B．k≤7 C．k≤8 D．k≤9 8．B　[解析] 第一次输入得s＝log23，k＝3；第二次得s＝log23·log34＝2，k＝4；第三次得s＝2log45，k＝5；第四次得s＝2log45·log56＝2 log46，k＝6；第五次得s＝2log46·log67＝2log47，k＝7；第六次得s＝2log47·log78＝2log48＝2log44＝3，k＝8，输出，故选B. L2　基本算法语句　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 5．L1、L2[2013·安徽卷] 某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86，94，88，92，90，五名女生的成绩分别为88，93，93，88，93.下列说法一定正确的是(　　) A．这种抽样方法是一种分层抽样 B．这种抽样方法是一种系统抽样 C．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差 D．该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数 5．C　[解析] 分层抽样是按照比例的抽样，由于男女生人数不同，抽取的人数相同；系统抽样是按照一定规则的分段抽样，故题中抽样方法即不是分层抽样也不是系统抽样．又五名男生的成绩的平均数为90，方差为8，五名女生成绩的平均数是91，方差为6，但该班所有男生成绩的平均数未必小于该班所有女生成绩的平均数．故选项C中的结论正确，选项D中的结论不正确． 2．L2[2013·陕西卷] 根据下列算法语句，当输入x为60时，输出y的值为(　　) 输入x； If x≤50　Then y＝0.5*x Else y＝25＋0.6*(x－50) End If 输出y. A．25 B．30 C．31 D．61 2．C　[解析] 算法语言给出的是分段函数y＝输入x＝60时，y＝25＋0.6(60－50)＝31. 8．L1，L2[2013·重庆卷] 执行如图1－4所示的程序框图，如果输出s＝3，那么判断框内应填入的条件是(　　)
图1－4 A．k≤6 B．k≤7 C．k≤8 D．k≤9 8．B　[解析] 第一次输入得s＝log23，k＝3；第二次得s＝log23·log34＝2，k＝4；第三次得s＝2log45，k＝5；第四次得s＝2log45·log56＝2 log46，k＝6；第五次得s＝2log46·log67＝2log47，k＝7；第六次得s＝2log47·log78＝2log48＝2log44＝3，k＝8，输出，故选B. L3　算法案例　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 L4　复数的基本概念与运算　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2．L4[2013·新课标全国卷Ⅰ] 若复数z满足(3－4i)z＝|4＋3i|，则z的虚部为(　　) A．－4 B．－ C．4 D. 2．D　[解析] z＝＝＝＝＋i，故z的虚部是. 1．L4[2013·安徽卷] 设i是虚数单位，z是复数z的共轭复数，若z·zi＋2＝2z，则z＝(　　) A．1＋i B．1－i C．－1＋i D．－1－i 1．A　[解析] 设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z＝a－bi，所以z·zi＋2＝2z，即2＋(a2＋b2)i＝2a＋2bi，根据复数相等的充要条件得2＝2a，a2＋b2＝2b，解得a＝1，b＝1，故z＝1＋i. 2．L4[2013·北京卷] 在复平面内，复数(2－i)2对应的点位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．D　[解析] (2－i)2＝4－4i＋i2＝3－4i，对应的复平面内点的坐标为(3，－4)，所以选D. 1．L4[2013·福建卷] 已知复数z的共轭复数z＝1＋2i(i为虚数单位)，则z在复平面内对应的点位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 1．D　[解析] z＝1－2i，对应的点为P(1，－2)，故选D. 3．L4[2013·广东卷] 若复数iz＝2＋4i，则在复平面内，z对应的点的坐标是(　　) A．(2，4) B．(2，－4) C．(4，－2) D．(4，2) 3．C　[解析] 设复数z＝a＋bi，a，b∈R，则iz＝i(a＋bi)＝－b＋ai＝2＋4i，解得b＝－2，a＝4.故在复平面内，z对应的点的坐标是(4，－2)，选C. 1．L4[2013·湖北卷] 在复平面内，复数z＝(i为虚数单位)的共轭复数对应的点位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 1．D　[解析] z＝＝＝i(1－i)＝1＋i，z＝1－i，z对应的点在第四象限，选D. 1．L4[2013·湖南卷] 复数z＝i·(1＋i)(i为虚数单位)在复平面上对应的点位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 1．B　[解析] 由题z＝i·(1＋i)＝i＋i2＝－1＋i，在复平面上对应的点坐标为(－1，1)，即位于第二象限，选B. 2．L4[2013·江苏卷] 设z＝(2－i)2(i为虚数单位)，则复数z的模为________． 2．5　[解析] 因为z＝(2－i)2＝4－4i＋i2＝3－4i，所以复数z的模为5. 1．A1，L4[2013·江西卷] 已知集合M＝{1，2，zi}，i为虚数单位，N＝{3，4}，M∩N＝{4}，则复数z＝(　　) A．－2i B．2i C．－4i D．4i 1．C　[解析] zi＝4z＝－4i，故选C. 1．L4[2013·辽宁卷] 复数z＝的模为(　　) A. B. C. D．2 1．B　[解析] 复数z＝＝－，所以|z|＝－＝，故选B. 2．L4[2013·全国卷] (1＋i)3＝(　　) A．－8 B．8 C．－8i D．8i 2．A　[解析] (1＋i)3＝13＋3×12(i)＋3×1×(i)2＋(i)3＝1＋3i－9－3i＝－8. 1．L4[2013·山东卷] 复数z满足(z－3)(2－i)＝5(i为虚数单位)，则z的共轭复数z为(　　) A．2＋i B．2－i C．5＋i D．5－i 1．D　[解析] 设z＝a＋bi，(a，b∈R)，由题意得(a＋bi－3)(2－i)＝(2a＋b－6)＋(2b－a＋3)i＝5，即解之得∴z＝5－i. 6．L4[2013·陕西卷] 设z1，z2是复数，则下列命题中的假命题是(　　) A．若|z1－z2|＝0，则z1＝z2 B．若z1＝z2，则z1＝z2 C．若|z1|＝|z2|，则z1·z1＝z2·z2 D．若|z1|＝|z2|，则z＝z 6．D　[解析] 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，若|z1－z2|＝0，则z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i＝0a＝c，b＝d，故A正确．若z1＝z2，则a＝c，b＝－d，所以z1＝z2，故B正确．若|z1|＝|z2|，则a2＋b2＝c2＋d2，所以z1·z1＝z2·z2，故C正确．又z＝(a2－b2)＋2abi，z＝(c2－d2)＋2cdi，由a2＋b2＝c2＋d2不能推出z＝z成立，故D错． 2．L4[2013·四川卷] 如图1－1所示，在复平面内，点A表示复数z，则图1－1中表示z的共轭复数的点是(　　)
图1－1 A．A 　B．B 　C．C 　D．D 2．B　[解析] 复数与共轭复数的几何关系是其表示的点关于x轴对称． 9．L4[2013·天津卷] 已知a，b∈R，i是虚数单位，若(a＋i)(1＋i)＝bi，则a＋bi＝________. 9．1＋2i　[解析] (a＋i)(1＋i)＝a－1＋(a＋1)i＝bi， ∴解得a＝1，b＝2.故a＋bi＝1＋2i. 2．L4[2013·新课标全国卷Ⅱ] 设复数z满足(1－i)z＝2i，则z＝(　　) A．－1＋i B．－1－i C．1＋i D．1－i 2．A　[解析] (1－i)z＝2i，则z＝＝i(1＋i)＝－1＋i.故选A. 1．L4[2013·浙江卷] 已知i是虚数单位，则(－1＋i)(2－i)＝(　　) A．－3＋i B．－1＋3i C．－3＋3i D．－1＋i 1．B　[解析] (－1＋i)(2－i)＝－2＋i＋2i＋1＝－1＋3i，故选择B. 11．L4[2013·重庆卷] 已知复数z＝(i是虚数单位)，则|z|＝________． 11.　[解析] 因为z＝＝2＋i，所以|z|＝＝. L5　单元综合　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．[2013·杭州质检] 若程序框图如图K42－4所示，则该程序运行后输出k的值是(　　)
图K42－4 A．4 B．5 C．6 D．7 1．B　[解析] 由题意，得n＝5，k＝0 ?n＝16，k＝1 ?n＝8，k＝2 ?n＝4，k＝3 ?n＝2，k＝4 ?n＝1，k＝5?终止 当n＝2时，执行最后一次循环； 当n＝1时，循环终止，这是关键．输出k＝5.

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