N单元 选修4系列
N1选修4-1 几何证明选讲
图1－6
22．N1[2013·新课标全国卷Ⅰ] 选修4－1：几何证明选讲如图1－6所示，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D.
(1)证明：DB＝DC；
(2)设圆的半径为1，BC＝，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．
22．解：(1)证明：联结DE，交BC于点G.
由弦切角定理得，∠ABE＝∠BCE.
而∠ABE＝∠CBE，故∠CBE＝∠BCE，BE＝CE.
又因为DB⊥BE，所以DE为直径，∠DCE＝90°，
由勾股定理可得DB＝DC.
(2)由(1)知，∠CDE＝∠BDE，DB＝DC，
故DG是BC的中垂线，所以BG＝.
设DE的中点为O，联结BO，则∠BOG＝60°.从而∠ABE＝∠BCE＝∠CBE＝30°，
所以CF⊥BF，故Rt△BCF外接圆的半径等于.
15．N1[2013·广东卷] (几何证明选讲选做题)如图1－3所示，AB是圆O的直径，点C在圆O上，延长BC到D使BC＝CD，过C作圆O的切线交AD于E.若AB＝6，ED＝2，则BC＝________．
图1－3
15．2 [解析] 由题知∠ACB＝90°，又BC＝CD，
∴AD＝AB＝6，∠BAC＝∠CAE，∴AE＝AD－ED＝4.
∵CE为切线，∴∠ACE＝∠ABC.
∴∠ACE＋∠CAE＝∠ABC＋∠BAC＝90°.
在△ACD中，∠ACD＝90°，CE⊥AD，
∴CD2＝ED·DA＝12，解得CD＝2 ，故BC＝2 .
图1－5
15．N1[2013·湖北卷] (选修4－1：几何证明选讲)
如图1－5所示，圆O上一点C在直径AB上的射影为D，点D在半径OC上的射影为E.若AB＝3AD，则的值为________．
15．8 [解析] 设AB＝6k，则AD＝2k，DO＝k，CO＝3k，设EO＝x，由射影定理：DO2＝EO·CO，k2＝x·3k，x＝，故＝＝8.
图1－3
11．N1[2013·湖南卷] 如图1－2所示，在半径为的⊙O中，弦AB，CD相交于点P.PA＝PB＝2，PD＝1，则圆心O到弦CD的距离为________．
11. [解析] 由相交弦定理可知PA·PB＝PC·PD，得PC＝4，故弦CD＝5，又半径r＝，记圆心O到直线CD的距离为d，则d2＋＝7，即d2＝，故d＝.
21．N1[2013·江苏卷] A．[选修4－1：几何证明选讲]
如图1－1所示，AB和BC分别与圆O相切于点D，C，AC经过圆心O，且BC＝2OC.
求证：AC＝2AD.
图1－1
证明：联结OD，因为AB和BC分别与圆O相切于点D，C，
所以∠ADO＝∠ACB＝90°.
又因为∠A＝∠A，所以Rt△ADO∽Rt△ACB，
所以＝.
又BC＝2OC＝2OD.
故AC＝2AD.
11．N1[2013·北京卷] 如图1－2，AB为圆O的直径，PA为圆O的切线，PB与圆O相交于D，若PA＝3，PD∶DB＝9∶16，则PD＝________，AB＝________．
图1－2
11. 4 [解析] 由于PD∶DB＝9∶16，设PD＝9a，则DB＝16a，PB＝25a，根据切割线定理有PA2＝PD·PB，∴a＝，∴PD＝，PB＝5.又∵△PBA为直角三角形，∴AB2＋AP2＝PB2，∴AB＝4.
22．N1[2013·辽宁卷] 选修4－1：几何证明选讲
如图，AB为⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于E，AD垂直CD于D，BC垂直CD于C，EF垂直AB于F，联结AE，BE.证明：
(1)∠FEB＝∠CEB；
(2)EF2＝AD·BC.
图1－8
22．证明：(1)由直线CD与⊙O相切，得∠CEB＝∠EAB.
由AB为⊙O的直径，得AE⊥EB，从而∠EAB＋∠EBF＝.
又EF⊥AB，得∠FEB＋∠EBF＝，
从而∠FEB＝∠EAB.
故∠FEB＝∠CEB.
(2)由BC⊥CE，EF⊥AB，∠FEB＝∠CEB，BE是公共边，
得Rt△BCE≌Rt△BFE，所以BC＝BF.
类似可证，Rt△ADE≌Rt△AFE，得AD＝AF.
又在Rt△AEB中，EF⊥AB，故EF2＝AF·BF，
所以EF2＝AD·BC.
N1[2013·陕西卷]
B．(几何证明选做题)如图1－4，弦AB与CD相交于⊙O内一点E，过E作BC的平行线与AD的延长线相交于点P，已知PD＝2DA＝2，则PE＝________.
图1－4
[解析] 利用已知可得，∠BCE＝∠PED＝∠BAP，可得△PDE∽△PEA，可得＝，而PD＝2DA＝2，则PA＝3，则PE2＝PA·PD＝6，PE＝.
15．C8，E8，N1[2013·四川卷] 设P1，P2，…，Pn为平面α内的n个点，在平面α内的所有点中，若点P到P1，P2，…，Pn点的距离之和最小，则称点P为P1，P2，…，Pn点的一个“中位点”．例如，线段AB上的任意点都是端点A，B的中位点．则有下列命题：
①若A，B，C三个点共线，C在线段AB上，则C是A，B，C的中位点；
②直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点；
③若四个点A，B，C，D共线，则它们的中位点存在且唯一；
④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点．
其中的真命题是________．(写出所有真命题的序号)
15．①④ [解析] 对于①，如果中位点不在直线AB上，由三角形两边之和大于第三边可知与题意矛盾．而当中位点在直线AB上时，如果不与C重合，则|PA|＋|PB|＋|PC|＞|PA|＋|PB|也不符合题意，故C为唯一的中位点，①正确；
对于②，我们取斜边长为4的等腰直角三角形，此时，斜边中点到三个顶点的距离均为2，和为6；而我们取斜边上中线的中点，该点到直角顶点的距离为1，到两底角顶点的距离均为，显然2 ＋1＜6，故该直角三角形的斜边中点不是中位点，②错误；
对于③，当A，B，C，D四点共线时，不妨设他们的顺序就是A，B，C，D，则当点P在B，C之间运动时，点P到A，B，C，D四点的距离之和相等且最小，即这个时候的中位点有无穷多个，③错误；
对于④，同样根据三角形两边之和大于第三边的性质，如果中位点不在对角线的交点上，则距离之和肯定不是最小的，④正确．
13．N1[2013·天津卷] 如图1－2所示，△ABC为圆的内接三角形，BD为圆的弦，且BD∥AC.过点A作圆的切线与DB的延长线交于点E，AD与BC交于点F，若AB＝AC，AE＝6，BD＝5，则线段CF的长为________．
图1－2
13. [解析] 由切割线定理可得EA2＝EB·ED，有EB＝4，ED＝9.
因为AB＝AC，所以∠ABC＝∠C＝∠ADB，
由弦切角定理可得∠EAB＝∠ADB，所以∠EAB＝∠ABC，故AE∥BC.又BD∥AC，
所以四边形AEBC是平行四边形，可得BC＝AE＝6，又由平行线分线段成比例定理可得＝，因为AE＝6，所以BF＝，故CF＝BC－BF＝.
22．N1[2013·新课标全国卷Ⅱ] 选修4－1：几何证明选讲：
如图1－5，CD为△ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E，F分别为弦AB与弦AC上的点，且BC·AE＝DC·AF，B，E，F，C四点共圆．
(1)证明：CA是△ABC外接圆的直径；
(2)若DB＝BE＝EA，求过B，E，F，C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值．
图1－5
22．解：(1)证明：因为CD为△ABC外接圆的切线，所以∠DCB＝∠A，由题设知＝，
故△CDB∽△AEF，所以∠DBC＝∠EFA.
因为B，E，F，C四点共圆，所以∠CFE＝∠DBC，故∠EFA＝∠CFE＝90°.所以∠CBA＝90°，因此CA是△ABC外接圆的直径．
(2)联结CE，因为∠CBE＝90°，所以过B，E，F，C四点的圆的直径为CE，由DB＝BE，有CE＝DC，又BC2＝DB·BA＝2DB2，所以CA2＝4DB2＋BC2＝6DB2.
而DC2＝DB·DA＝3DB2，故过B，E，F，C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值为.
1－6
14．N1[2013·重庆卷] 如图1－6所示，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AB＝20，过C作△ABC的外接圆的切线CD，BD⊥CD，BD与外接圆交于点E，则DE的长为________．
14．5 [解析] 联结CE.由弦切角定理知∠BCD＝∠A＝60°，所以在Rt△BCD中，∠CBD＝30°.又在Rt△ABC中，∠ABC＝30°，AC＝AB＝10，所以CE＝AC＝10.在Rt△CDE中，∠DCE＝30°，故DE＝CE＝5.
N2 选修4-2 矩阵
21．[2013·福建卷] N2(Ⅰ)选修4－2：矩阵与变换
已知直线l：ax＋y＝1在矩阵A＝)对应的变换作用下变为直线l′：x＋by＝1.
(1)求实数a，b的值；
(2)若点P(x0，y0)在直线l上，且A)＝)，求点P的坐标．
(Ⅰ)解：(1)设直线l：ax＋y＝1上任意点M(x，y)在矩阵A对应的变换作用下的像是M′(x′，y′)．
由)＝)))＝)，得
又点M′(x′，y′)在l′上，所以x′＋by′＝1，
即x＋(b＋2)y＝1.
依题意得解得
(2)由A)＝)，得解得y0＝0.
又点P(x0，y0)在直线l上，所以x0＝1.
故点P的坐标为(1，0)．
N2[2013·江苏卷]
B．[选修4－2：矩阵与变换]
已知矩阵A＝－1,0) 0,2)，B＝1,0) 2,6)，求矩阵A－1B.
解：设矩阵A的逆矩阵为a,c) b,d)，
则－1,0) 0,2)a,c) b,d)＝1,0) 0,1)．
即－a,2c) －b,2d)＝1,0) 0,1)，
故a＝－1，b＝0，c＝0，d＝，
从而A的逆矩阵为A－1＝ 0,)))．
所以A－1B＝ 0,)))1,0) 2,6)＝－1,0) －2,3)．
2．N2，N3[2013·浙江卷] 已知a∈R“矩阵与变换和坐标系与参数方程”模块
(1)以极坐标系Ox的极点O为原点，极轴Ox为x轴正半轴建立平面直角坐标系xOy，并在两种坐标系中取相同的长度单位．把极坐标方程cos θ＋ρ2sin θ＝1化成直角坐标方程．
(2)在直角坐标系xOy中，曲线C：(θ为参数)，过点P(2，1)的直线与曲线C交于A，B两点．若|PA|·|PB|＝，求|AB|的值．
2．解：(1)极坐标方程两边同乘以ρ得ρcos θ＋ρ3sin θ＝ρ.
又在直角坐标系下，ρcos θ＝x，ρsin θ＝y，ρ2＝x2＋y2，
故化成直角坐标方程为x＋y(x2＋y2)＝.
又(0，0)满足原极坐标方程．
故所求的直角坐标方程为x＋y(x2＋y2)＝.
(2)由题意，曲线C的直角坐标方程为x2＋2y2＝2.
设过点P(2，1)，倾斜角为α的直线的参数方程为
(t为参数)．
及点A，B对应的参数分别为t1，t2.
将直线的参数方程代入x2＋2y2＝2得
(2＋tcos α)2＋2(1＋tsin α)2－2＝0.
即(1＋sin2α)t2＋4(sin α＋cos α)t＋4＝0.
则Δ＝16(2sin αcos α－sin2 α)>0，且t1＋t2＝－，t1t2＝，
由|PA|·|PB|＝得|t1t2|＝＝.
故sin2 α＝.又由Δ>0得0b>0)．在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，直线l与圆O的极坐标方程分别为ρsinθ＋＝m(m为非零常数)与ρ＝b.若直线l经过椭圆C的焦点，且与圆O相切，则椭圆C的离心率为________．
16. [解析] 直线l的直角坐标方程为x＋y－m＝0，圆O的直角坐标方程为x2＋y2＝b2，由直线与圆相切得：m2＝2b2.又椭圆C的一般方程为＋＝1，直线过椭圆焦点，故m＝c，所以c2＝2b2e＝＝.
9．N3[2013·湖南卷] 在平面直角坐标系xOy中，若直线l：(t为参数)过椭圆C：(φ为参数)的右顶点，则常数a的值为________．
9．3 [解析] 将参数方程化为普通方程可得，直线l：即y＝x－a，椭圆C：即＋＝1，可知其右顶点为(3，0)，代入直线方程可得a＝3.
N3[2013·江苏卷]
C．[选修4－4：坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的参数方程为(θ为参数)，试求直线l和曲线C的普通方程，并求出它们的公共点的坐标．
解：因为直线l的参数方程为(t为参数)，由x＝t＋1得t＝x－1，代入y＝2t，得到直线l的普通方程为2x－y－2＝0.
同理得到曲线C的普通方程为y2＝2x.
联立方程组解得公共点的坐标为(2，2)，，－1.
15．[2013·江西卷] N3(1)(坐标系与参数方程选做题)设曲线C的参数方程为(t为参数)，若以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为________．
N4[2013·江西卷] (2)(不等式选做题)在实数范围内，不等式||x－2|－1|≤1的解集为__________________．
15．(1)ρcos2θ－sin θ＝0 (2)
[解析] (1)曲线方程为y＝x2，将y＝ρsin θ，x＝ρcos θ代入得ρcos2θ－sin θ＝0.
(2)－1≤|x－2|－1≤10≤|x－2|≤2－2≤x－2≤2，得0≤x≤4.
23．N3[2013·辽宁卷] 选修4－4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．圆C1，直线C2的极坐标方程分别为ρ＝4sin θ，ρcos＝2 .
(1)求C1与C2交点的极坐标；
(2)设P为C1的圆心，Q为C1与C2交点连线的中点．已知直线PQ的参数方程为(t∈R为参数)，求a，b的值．
23．解：(1)圆C1的直角坐标方程为x2＋(y－2)2＝4，
直线C2的直角坐标方程为x＋y－4＝0.
解得
所以C1与C2交点的极坐标为，.
注：极坐标系下点的表示不唯一．
(2)由(1)可得，P点与Q点的直角坐标分别为(0，2)，(1，3)，
故直线PQ的直角坐标方程为x－y＋2＝0.
由参数方程可得y＝x－＋1，
所以解得a＝－1，b＝2.
C．N3[2013·陕西卷]
(坐标系与参数方程选做题)如图1－5，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆x2＋y2－x＝0的参数方程为________．
图1－5
(θ为参数) [解析] 设P(x，y)，则随着θ取值变化，P可以表示圆上任意一点，由所给的曲线方程x2＋y2－x＝0x－2＋y2＝，表示以，0为圆心，半径为的圆，可得弦OP＝1×cosθ，所以可得故已知圆的参数方程为(θ为参数)．
11．N3[2013·天津卷] 已知圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ，圆心为C，点P的极坐标为4，，则|CP|＝________.
11．2 [解析] ∵圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ，∴圆心C的直角坐标为(2，0)．∵P点极坐标，∴化为直角坐标为(2，2)，∴|CP|＝＝2 .
23．N3[2013·新课标全国卷Ⅱ] 选修4—4：坐标系与参数方程
已知动点P，Q都在曲线C：(t为参数)上，对应参数分别为t＝α与t＝2α(0<α<2π)，M为PQ的中点．
(1)求M的轨迹的参数方程；
(2)将M到坐标原点的距离d表示为α的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点．
23．解：(1)依题意有P(2cos α，2sin α)，Q(2cos 2α，2sin 2α)，因此M(cos α＋cos 2α，sin α＋sin 2α)．
M的轨迹的参数方程为
(α为参数，0<α<2π)．
(2)M点到坐标原点的距离
d＝＝(0<α<2π)．
当α＝π时，d＝0，故M的轨迹过坐标原点．
2．N2，N3[2013·浙江卷] 已知a∈R“矩阵与变换和坐标系与参数方程”模块
(1)以极坐标系Ox的极点O为原点，极轴Ox为x轴正半轴建立平面直角坐标系xOy，并在两种坐标系中取相同的长度单位．把极坐标方程cos θ＋ρ2sin θ＝1化成直角坐标方程．
(2)在直角坐标系xOy中，曲线C：(θ为参数)，过点P(2，1)的直线与曲线C交于A，B两点．若|PA|·|PB|＝，求|AB|的值．
2．解：(1)极坐标方程两边同乘以ρ得ρcos θ＋ρ3sin θ＝ρ.
又在直角坐标系下，ρcos θ＝x，ρsin θ＝y，ρ2＝x2＋y2，
故化成直角坐标方程为x＋y(x2＋y2)＝.
又(0，0)满足原极坐标方程．
故所求的直角坐标方程为x＋y(x2＋y2)＝.
(2)由题意，曲线C的直角坐标方程为x2＋2y2＝2.
设过点P(2，1)，倾斜角为α的直线的参数方程为
(t为参数)．
及点A，B对应的参数分别为t1，t2.
将直线的参数方程代入x2＋2y2＝2得
(2＋tcos α)2＋2(1＋tsin α)2－2＝0.
即(1＋sin2α)t2＋4(sin α＋cos α)t＋4＝0.
则Δ＝16(2sin αcos α－sin2 α)>0，且t1＋t2＝－，t1t2＝，
由|PA|·|PB|＝得|t1t2|＝＝.
故sin2 α＝.又由Δ>0得00，求证：2a3－b3≥2ab2－a2b.
证明：2a3－b3－(2ab2－a2b)＝2a(a2－b2)＋b(a2－b2)＝(a2－b2)(2a＋b)＝(a－b)(a＋b)(2a＋b)．
因为a≥b>0，所以a－b≥0，a＋b>0，2a＋b>0.
从而(a－b)(a＋b)(2a＋b)≥0，即2a3－b3≥2ab2－a2b.24.N4[2013·辽宁卷] 选修4－5：不等式选讲
已知函数f(x)＝|x－a|，其中a>1.
(1)当a＝2时，求不等式f(x)≥4－|x－4|的解集；
(2)已知关于x的不等式|f(2x＋a)－2f(x)|≤2的解集为，求a的值．
24．解：(1)当a＝2时，f(x)＋|x－4|＝
当x≤2时，由f(x)≥4－|x－4|得－2x＋6≥4，解得x≤1；
当2＜x＜4时，f(x)≥4－|x－4|无解；
当x≥4时，由f(x)≥4－|x－4|得2x－6≥4，解得x≥5；
所以f(x)≥4－|x－4|的解集为{x|x≤1或x≥5}．
(2)记h(x)＝f(2x＋a)－2f(x)，则
h(x)＝
由|h(x)|≤2，解得≤x≤.
又已知|h(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2}，
所以于是a＝3.
15．N4[2013·陕西卷] (考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分)
A．(不等式选做题)已知a，b，m，n均为正数，且a＋b＝1，mn＝2，则(am＋bn)(bm＋an)的最小值为________．
2 [解析] 利用柯西不等式式可得：(am＋bn)(bm＋an)≥(＋)2＝mn(a＋b)2＝2.
14．N4[2013·天津卷] 设a＋b＝2，b>0，则当a＝________时，＋取得最小值．
14．－2 [解析] ＋＝＋＝＋＋≥＋2 ≥－＋1＝，当且仅当＝时，等号成立．联立a＋b＝2，b>0，a<0.可解得a＝－2.
24．N4[2013·新课标全国卷Ⅱ] 选修4－5：不等式选讲
设a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1，证明：
(1)ab＋bc＋ca≤；
(2)＋＋≥1.
24．证明：(1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca得
a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.
由题设得(a＋b＋c)2＝1，即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1.
所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤.
(2)因为 ＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c，
故＋＋＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，即＋＋≥a＋b＋c，又a＋b＋c＝1，
所以＋＋≥1.
1．N4[2013·浙江卷] (1)解不等式|x－1|＋|x－4|≥5.
(2)求函数y＝|x－1|＋|x－4|＋x2－4x的最小值．
1．解：(1)当x<1时，1－x＋4－x≥5，得x≤0，此时x≤0；
当1≤x≤4时，x－1＋4－x≥5，得3≥5，此时x∈；
当x>4时，x－1＋x－4≥5，得x≥5，此时x≥5.
综上所述，原不等式的解集是(－∞，0]∪[5，＋∞)．
(2)因为|x－1|＋|x－4|≥|(x－1)－(x－4)|＝3，
当且仅当1≤x≤4时取等号；
x2－4x＝(x－2)2－4≥－4，当且仅当x＝2时取等号．
故|x－1|＋|x－4|＋x2－4x≥3－4＝－1，当x＝2时取等号．
所以y＝|x－1|＋|x－4|＋x2－4x的最小值为－1.
16．N4[2013·重庆卷] 若关于实数x的不等式|x－5|＋|x＋3|＜a无解，则实数a的取值范围是________．
16．(－∞，8] [解析] 要使不等式无解，则a必须小于或等于|x－5|＋|x＋3|的最小值，而|x－5|＋|x＋3|≥|(x－5)－(x＋3)|＝8，则a≤8，所以实数a的取值范围是(－∞，8]．
N5 选修4-7 优选法与试验设计
1．[2013·云南师大附中月考] 如图X8－4，已知圆O外有一点P，过P作圆O的切线PM，M为切点，过PM的中点N，作割线NAB，交圆于A、B两点，联结PA并延长，交圆O于点C，联结PB交圆O于点D，若MC＝BC.
(1)求证：△APM∽△ABP；
(2)求证：四边形PMCD是平行四边形．
图X8－4
1．证明：(1)∵PM是圆O的切线，NAB是圆O的割线，N是PM的中点，
∴MN2＝PN2＝NA·NB，∴＝，
又∵∠PNA＝∠BNP，∴△PNA∽△BNP，
∴∠APN＝∠PBN，即∠APM＝∠PBA，
∵MC＝BC，∴∠MAC＝∠BAC，
∴∠MAP＝∠PAB，∴△APM∽△ABP.
(2)∵∠ACD＝∠PBN，
∴∠ACD＝∠PBN＝∠APN，即∠PCD＝∠CPM，
∴PM∥CD.∵△APM∽△ABP，∴∠PMA＝∠BPA，
∵PM是圆O的切线，∴∠PMA＝∠MCP，
∴∠PMA＝∠BPA＝∠MCP，即∠MCP＝∠DPC，
∴MC∥PD，∴四边形PMCD是平行四边形．
【点此下载】