K单元 概率
K1 随事件的概率
16．I2，K1，K2[2013·北京卷] 图1－4是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天．
图1－4
(1)求此人到达当日空气质量优良的概率；
(2)求此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率；
(3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？(结论不要求证明)
16．解：(1)在3 月1日至3 月13日这13天中，1日、2日、3日、7日、12日、13日共6天的空气质量优良，所以此人到达当日空气质量优良的概率是.
(2)根据题意，事件“此人在该市停留期间只有1天空气 重度污染”等价于“此人到达该市的日期是4日，或5日，或7日，或8日”．
所以此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率为.
(3)从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大．
19．K1，I4[2013·福建卷] 某工厂有25周岁以上(含25周岁)工人300名，25周岁以下工人200名．为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上(含25周岁)”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分成5组：[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]分别加以统计，得到如图1－4所示的频率分布直方图．
图1－4
(1)从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率；
(2)规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？
附：χ2＝
P(χ2≥k)
0.100
0.050
0.010
0.001
k
2.706
3.841
6.635
10.828
19．解：(1)由已知得，样本中有“25周岁以上组”工人60名，“25周岁以下组”工人40名．
所以，样本中日平均生产件数不足60件的工人中，“25周岁以上组”工人有60×0.05＝3(人)，记为A1，A2，A3；“25周岁以下组”工人有40×0.05＝2(人)，记为B1，B2.
从中随机抽取2名工人，所有的可能结果共有10种，它们是：(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)．
其中，至少有1名“25周岁以下组”工人的可能结果共有7种，它们是：(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)．故所求的概率P＝.
(2)由频率分布直方图可知，在抽取的100名工人中，“25周岁以上组”中的生产能手有60×0.25＝15(人)，“25周岁以下组”中的生产能手有40×0.375＝15(人)，据此可得2×2列联表如下：
生产能手
非生产能手
合计
25周岁以上组
15
45
60
25周岁以下组
15
25
40
合计
30
70
100
所以得K2＝＝＝≈1.79.
因为1.79<2.706.
所以没有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”．
K2 古典概型
5．K2，K5[2013·安徽卷] 若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为( )
A. B.
C. D.
5．D [解析] 五人中选用三人，列举可得基本事件个数是10个，“甲或乙被录用”的对应事件是“甲乙都没有被录用”，即录用的是其余三人，只含有一个基本事件，故所求概率是1－＝.
16．I2，K1，K2[2013·北京卷] 图1－4是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天．
图1－4
(1)求此人到达当日空气质量优良的概率；
(2)求此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率；
(3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？(结论不要求证明)
16．解：(1)在3 月1日至3 月13日这13天中，1日、2日、3日、7日、12日、13日共6天的空气质量优良，所以此人到达当日空气质量优良的概率是.
(2)根据题意，事件“此人在该市停留期间只有1天空气 重度污染”等价于“此人到达该市的日期是4日，或5日，或7日，或8日”．
所以此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率为.
(3)从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大．
7．K2[2013·江苏卷] 现有某类病毒记作XmYn，其中正整数m，n(m≤7，n≤9)可以任意选取，则m，n都取到奇数的概率为________．
7. [解析] 基本事件共有7×9＝63种，m可以取1，3，5，7，n可以取1，3，5，7，9.所以m，n都取到奇数共有20种，故所求概率为.
18．K2[2013·江西卷] 小波以游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋．游戏规则为：以O为起点，再从A1，A2，A3，A4，A5，A6(如图1－6)这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X，若X>0就去打球，若X＝0就去唱歌，若X<0就去下棋．
(1)写出数量积X的所有可能取值；
(2)分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率．
图1－6
18．解：(1)X的所有可能取值为－2，－1，0，1.
(2)数量积为－2的有·，共1种；
数量积为－1的有·，·，·，·，·，·，共6种；
数量积为0的有·，·，·，·，共4种；
数量积为1的有·，·，·，·，共4种．
故所有可能的情况共有15种．
所以小波去下棋的概率为P1＝；
因为去唱歌的概率为P2＝，所以小波不去唱歌的概率P＝1－P2＝1－＝.
4．K2[2013·江西卷] 集合A＝{2，3}，B＝{1，2，3}, 从A，B中各任意取一个数，则这两数之和等于4的概率是( )
A. B.
C. D.
4．C [解析] 从A，B中任取一个数，共有6种取法，其中两数之和为4的是(2，2)，(3，1)，故P＝＝，故选C.
13．K2[2013·新课标全国卷Ⅱ] 从1，2，3，4，5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率是________．
13．0.2 [解析] 任取两个数有10种取法，和为5的取法有2种，故概率为＝0.2.
17．K2[2013·山东卷] 某小组共有A，B，C，D，E五位同学，他们的身高(单位：米)及体重指标(单位：千克/米2)如下表所示：
A
B
C
D
E
身高
1.69
1.73
1.75
1.79
1.82
体重指标
19.2
25.1
18.5
23.3
20.9
(1)从该小组身高低于1.80的同学中任选2人，求选到的2人身高都在1.78以下的概率；
(2)从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5，23.9)中的概率．
17．解：(1)从身高低于1.80的同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有：
(A，B)，(A，C)，(A，D)，(B，C)，(B，D)，(C，D)，共6个．
由于每个人被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．
选到的2人身高都在1.78以下的事件有：(A，B)，(A，C)，(B，C)，共3个．
因此选到的2人身高都在1.78以下的概率为P＝＝.
(2)从该小组同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)，共10个．
由于每个人被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．
选到的2人身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5，23.9)中的事件有：(C，D)，(C，E)，(D，E)，共3个．
因此选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5，23.9)中的概率为P1＝.
19．K2[2013·陕西卷] 有7位歌手(1至7号)参加一场歌唱比赛，由500名大众评委现场投票决定歌手名次．根据年龄将大众评委分为五组，各组的人数如下：
组别
A
B
C
D
E
人数
50
100
150
150
50
(1)为了调查评委对7位歌手的支持情况，现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委，其中从B组抽取了6人，请将其余各组抽取的人数填入下表；
组别
A
B
C
D
E
人数
50
100
150
150
50
抽取人数
6
(2)在(1)中，若A，B两组被抽到的评委中各有2人支持1号歌手，现从这两组被抽到的评委中分别任选1人，求这2人都支持1号歌手的概率．
19．解： (1)由题设知，分层抽样的抽取比例为6%，所以各组抽取的人数如下表：
组别
A
B
C
D
E
人数
50
100
150
150
50
抽取人数
3
6
9
9
3
(2)记从A组抽到的3个评委为a1，a2，a3，其中a1，a2支持1号歌手；从B组抽到的6个评委为b1，b2，b3，b4，b5，b6，其中b1，b2支持1号歌手．从和中各抽取1人的所有结果为：
图1－6
由以上树状图知所有结果共18种，其中2人都支持1号歌手的有a1b1，a1b2，a2b1，a2b2共4种，故所求概率P＝＝.
5．I2，K2[2013·陕西卷] 对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测，图1－1为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间[20，25)上为一等品，在区间[15，20)和[25，30)上为二等品，在区间[10，15)和[30，35]上为三等品．用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取1件，则其为二等品的概率是( )
图1－1
A．0.09 B．0.20 C．0.25 D．0.45
5．D [解析] 利用统计图表可知在区间[25，30)上的频率为：1－(0.02＋0.04＋0.06＋0.03)×5＝0.25，在区间[15，20)上的频率为：0.04×5＝0.2，故所抽产品为二等品的概率为0.25＋0.2＝0.45.
15．I2，K2[2013·天津卷] 某产品的三个质量指标分别为x，y，z，用综合指标S＝x＋y＋z评价该产品的等级，若S≤4，则该产品为一等品．现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如下：
产品编号
A1
A2
A3
A4
A5
质量指标
(x，y，z)
(1，1，2)
(2，1，1)
(2，2，2)
(1，1，1)
(1，2，1)
产品编号
A6
A7
A8
A9
A10
质量指标
(x，y，z)
(1，2，2)
(2，1，1)
(2，2，1)
(1，1，1)
(2，1，2)
(1)利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率；
(2)在该样本的一等品中，随机抽取2件产品，
(i)用产品编号列出所有可能的结果；
(ii)设事件B为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S都等于4”．求事件B发生的概率．
15．解：(1)计算10件产品的综合指标S，如下表：
产品编号
A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
A9
A10
S
4
4
6
3
4
5
4
5
3
5
其中S≤4的有A1，A2，A4，A5，A7，A9，共6件，故该样本的一等品率为＝0.6.
从而可估计该批产品的一等品率为0.6.
(2)(i)在该样本的一等品中，随机抽取2件产品的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A7}，{A1，A9}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A7}，{A2，A9}，{A4，A5}，{A4，A7}，{A4，A9}，{A5，A7}，{A5，A9}，{A7，A9}，共15种．
(ii)在该样本的一等品中，综合指标S等于4的产品编号分别为A1，A2，A5，A7，则事件B发生的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A5}，{A1，A7}，{A2，A5}，{A2，A7}，{A5，A7}, 共6种．
所以P(B)＝＝.
3．K2[2013·新课标全国卷Ⅰ] 从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是( )
A. B. C. D.
3．B [解析] 基本事件是(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，共6个，其中两数之差的绝对值为2的基本事件是(1，3)，(2，4)，共2个，根据古典概型公式得所求的概率是＝.
12．K2[2013·浙江卷] 从3男3女共6名同学中任选2名(每名同学被选中的机会均等)，这2名都是女同学的概率等于________．
12. [解析] 设选2名都是女同学的事件为A，从6名同学中选2名，共有15种情况，而从3名女生中选2名，有3种情况，所以P(A)＝＝.
13．K2[2013·重庆卷] 若甲、乙、丙三人随机地站成一排，则甲、乙两人相邻而站的概率为________．
13. [解析] 三人站成一排的情况包括甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲，共6种，其中甲、乙相邻的排法有4种，所以甲、乙相邻而站的概率为＝.
K3 几何概型
14．K3[2013·福建卷] 利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，则事件“3a－1<0”发生的概率为________．
14. [解析] 00，当0s，故答案为2.
K8 离散型随机变量的数学特征与正态分布
20．K4、K5、K7[2013·全国卷] 甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判．设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判．
(1)求第4局甲当裁判的概率；
(2)求前4局中乙恰好当1次裁判的概率．
20．解：(1)记A1表示事件“第2局结果为甲胜”，
A2表示事件“第3局甲参加比赛时，结果为甲负”，
A表示事件“第4局甲当裁判”．
则A＝A1·A2，
P(A)＝P(A1·A2)＝P(A1)P(A2)＝.
(2)记B1表示事件“第1局比赛结果为乙胜”，
B2表示事件“第2局乙参加比赛时，结果为乙胜”，
B3表示事件“第3局乙参加比赛时，结果为乙胜”，
B表示事件“前4局中乙恰好当1次裁判”．
则B＝B1·B3＋B1·B2·B3＋B1·B2，
P(B)＝P(B1·B3＋B1·B2·B3＋B1·B2)
＝P(B1·B3)＋P(B1·B2·B3)＋P(B1·B2)
＝P(B1)P(B3)＋P(B1)P(B2)P(B3)＋P(B1)P(B2)
＝＋＋
＝.
K9 单元综合
1．[2013·武汉市部分学校联考] 投掷两颗骰子，其向上的点数分别为m和n，则复数(m＋ni)2为纯虚数的概率为( )
A. B.
C. D.
1．C [解析] 投掷两颗骰子共有36种结果，因为(m＋ni)2＝m2－n2＋2mni，所以要使复数(m＋ni)2为纯虚数，则m2－n2＝0，即m＝n，共有6种结果，所以复数(m＋ni)2为纯虚数的概率为＝，选C.
2．[2013·杭州模拟] 记集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤16}和集合B＝{(x，y)|x＋y－4≤0，x≥0，y≥0}表示的平面区域分别为Ω1，Ω2，若在区域Ω1内任取一点M(x，y)，则点M落在区域Ω2的概率为( )
A. B.
C. D.
2．A [解析] 区域Ω1为圆心在原点，半径为4的圆，区域Ω2为等腰直角三角形，两腰长为4，所以P＝＝＝，故选A.
3．[2013·衡水调研] 将一颗骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为( )
A. B.
C. D.
3．B [解析] 基本事件总数为216，点数构成等差数列包含的基本事件有(1，1，1)，(2，2，2)，(3，3，3)，(4，4，4)，(5，5，5)，(6，6，6)，(1，2，3)，(1，3，5)，(2，3，4)，(2，4，6)，(3，2，1)，(3，4，5)，(4，3，2)，(4，5，6)，(5，4，3)，(5，3，1)，(6，5，4)，(6，4，2)共18个，故求概率为P＝＝.
4．[2013·广州调研] 在区间[1，5]和[2，4]分别取一个数，记为a，b，则方程＋＝1表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆的概率为( )
A. B.
C. D.
4．B [解析] 依题意可以应用几何概型解决问题．方程＋＝1表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆时有
即化简得又a∈[1，5]，b∈[2，4]，画出满足不等式组的平面区域，如图阴影部分所示，求得阴影部分的面积为，故P＝＝.
5．[2013·丹东四校协作体零诊] 在长为10 cm的线段AB上任取一点C，并以线段AC为边作正方形，这个正方形的面积介于25 cm2与49 cm2之间的概率为________．
5. [解析] 依题意知属于几何概型：因以线段AC为边的正方形的面积介于25 cm2与49 cm2之间满足条件的C点对应的线段长2 cm，而线段AB总长为10 cm，故正方形的面积介于25 cm2与49 cm2之间的概率P＝＝，故答案为.
6．[2013·湛江模拟] 在圆(x－2)2＋(y－2)2＝8内有一平面区域E：点P是圆内的任意一点，而且出现任何一个点是等可能的．若使点P落在平面区域E内的概率最大，则m＝________.
6．0 [解析] 如图所示，当m＝0时，平面区域E的面积最大，则点P落在平面区域E内的概率最大．
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