数学原创试题（17）
函数与方程
一、选择
1．已知唯一的零点在区间、、内，那么下面命题错误的（ ）
A. 函数在或内有零点B. 函数在内无零点
C. 函数在内有零点D. 函数在内不一定有零点
【答案】C
【解析】 唯一的零点必须在区间，而不在
2．函数f（x）＝x－sinx在区间[0,2π]上的零点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】： 在同一坐标系内作出函数y＝x及y＝sinx在[0,2π]上的图象，发现它们有两个交点，即函数f（x）在[0,2π]上有两个零点．
3．函数f（x）＝－cos x在[0，＋∞）内（ ）
A．没有零点 B．有且仅有一个零点
C．有且仅有两个零点 D．有无穷多个零点
【答案】B
【解析】：在同一直角坐标系中分别作出函数y＝和y＝cos x的图象，如图，由于x＞1时，y＝＞1，y＝cos x≤1，所以两图象只有一个交点，即方程－cos x＝0在[0，＋∞）内只有一个根，所以f（x）＝－cos x在[0，＋∞）内只有一个零点，所以选B.
4．若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：
f （1） = －2
f （1.5） = 0.625
f （1.25） = －0.984
f （1.375） = －0.260
f （1.4375） = 0.162
f （1.40625） = －0.054
那么方程的一个近似根（精确到0.1）为 （ ）
A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5
【答案】 C
【解析】 f（1.40625）=－0.054< 0，f（1.4375）=0.162> 0 且都接近0，由二分法可知其根近似于1.4。
5．已知函数,若实数是方程的解,且,则的值为（ ）
A．恒为正值 B．等于 C．恒为负值 D．不大于
【答案】A
【解析】:因为函数和都是单调减函数,所以函数为 减函数.又因为实数是方程的解,所以,所以当时, 的值恒为正值.故选A.
6．已知函数则函数零点个数为 （ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】C
【解析】：只要画出分段函数的图象，就可以知道图象与x轴有三个交点，即函数的零点有3个.
7．设函数与的图象的交点为（，），则所在的区间是
A.（0,1） B.（1,2） C.（2,3） D.（3,4）
【答案】B
【解析】令g（x）＝x3－22－x，可求得：g（0）<0，g（1）<0，g（2）>0，g（3）>0，g（4）>0，易知函数g（x）的零点所在区间为（1,2）.
二、填空
8．已知函数f（x）＝x＋log2x，则f（x）在[，2]内的零点的个数是______．
【答案】1
【解析】易知g（x）＝x与h（x）＝log2x均为增函数，故函数f（x）为增函数，且f（2）·f（）<0，故函数有且只有一个零点．
9．已知f（x）＝|x|＋|x－1|，若g（x）＝f（x）－a的零点个数不为0，则a的最小值为________．
【答案】1
【解析】：作f（x）的图象，如图，g（x）=f（x）-a=0，即f（x）=a，当a=1时，g（x）有无数个零点；当a>1时，g（x）有2个零点；∴a的最小值为1.
10．若函数f（x）＝x2＋ax＋b的两个零点是－2和3，则不等式af（－2x）＞0的解集是________．
【答案】
【解析】 ∵f（x）＝x2＋ax＋b的两个零点是－2,3.
∴－2,3是方程x2＋ax＋b＝0的两根，
由根与系数的关系知，∴，
∴f（x）＝x2－x－6.
∵不等式af（－2x）＞0，即－（4x2＋2x－6）＞0?2x2＋x－3＜0，
解集为.
三、解答题
11．某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时每吨为1.80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨3.00元，某月甲、乙两户共交水费y元，已知甲、乙两户该月用水量分别为5x,3x（吨）．
（1）求y关于x的函数；
（2）若甲、乙两户该月共交水费26.4元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费．
解析：（1）当甲的用水量不超过4吨时，即5x≤4时，乙的用水量也不超过4吨，y＝（5x＋3x）×1.8＝14.4x；
当甲的用水量超过4吨，乙的用水量不超过4吨时，即3x≤4且5x＞4.
y＝4×1.8＋3x×1.8＋3（5x－4）＝20.4x－4.8.
当乙的用水量超过4吨，即3x＞4时，y＝24x－9.6，
所以y＝
（2）由于y＝f（x）在各段区间上均单调递增．
当x∈[0，]时，y≤f（）<26.4；
当x∈（，]时，y≤f（）<26.4；
当x∈（，＋∞）时，令24x－9.6＝26.4，得x＝1.5.
所以甲户用水量为5x＝7.5吨，
付费S1＝4×1.8＋3.5×3＝17.7（元），
乙户用水量为3x＝4.5吨，
付费S2＝4×1.8＋0.5×3＝8.7（元）．
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