课时提升作业(四十) 一、选择题 1.以下四个命题:①正棱锥的所有侧棱相等;②直棱柱的侧面都是全等的矩形;③圆柱的母线垂直于底面;④用经过旋转轴的平面截圆锥,所得的截面一定是全等的等腰三角形.其中,真命题的个数为　(　　) (A)4　　　　(B)3　　　　(C)2　　　　(D)1 2.下列几何体各自的三视图中,有且仅有两个视图相同的是　(　　)  (A)①② (B)①③ (C)①④ (D)②④ 3.(2013·沈阳模拟)一个锥体的主视图和左视图如图所示,下面选项中,不可能是该锥体的俯视图的是　(　　)  4.如图,△ABC为正三角形,AA′∥BB′∥CC′,CC′⊥平面ABC且3AA′=BB′=CC′=AB,则多面体ABC-A′B′C′的主视图是　(　　)    5.(2013·宁波模拟)一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图所示),∠ABC=45°,AB=AD=1,DC⊥BC,则这个平面图形的面积为　(　　)  (A)+ (B)2+ (C)+ (D)+ 6.一个正方体截去两个角后所得几何体的主视图、左视图如图所示,则其俯视图为　(　　)  7.(2013·西安模拟)一只蚂蚁从正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A处出发,经正方体的表面,按最短路线爬行到达顶点C1位置,则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的主视图是　(　　)  (A)①② (B)①③ (C)②④ (D)③④ 二、填空题 8.等腰梯形ABCD,上底CD=1,腰AD=CB=,下底AB=3,以下底所在直线为x轴,则由斜二测画法画出的直观图A′B′C′D′的面积为　　　　. 9.(2013·德州模拟)一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等,体积为2,它的三视图中的俯视图如图所示,左视图是一个矩形,则这个矩形的面积是　　　　. 10.(2013·合肥模拟)一个三棱锥的主视图和左视图及其尺寸 如图所示,则该三棱锥的俯视图的面积为　　　　.  三、解答题 11.(能力挑战题)某几何体的一条棱长为,在该几何体的主视图中,这条棱的投影是长为的线段,在该几何体的左视图与俯视图中,这条棱的投影分别是长为a和b的线段,求a+b的最大值. 答案解析 1.【解析】选B.由正棱锥的定义可知所有侧棱相等,故①正确;由于直棱柱的底面的各边不一定相等,故侧面矩形不一定全等,因此②不正确;由圆柱母线的定义可知③正确;结合圆锥轴截面的作法可知④正确.综上,正确的命题有3个. 2.【解析】选D.在各自的三视图中,①正方体的三个视图都相同;②圆锥的两个视图相同;③三棱台的三个视图都不同;④正四棱锥的两个视图相同,故选D. 【变式备选】正三棱柱(底面为正三角形的直棱柱)ABC-A1B1C1如图所示,以四边形ABB1A1为水平面,四边形BCC1B1的前面为正前方画出的三视图正确的是　(　　)  【解析】选A.矩形BCC1B1的前面为正前方,故主视图为矩形,左侧为△ABC,所以左视图为三角形.俯视图为两个有公共边的矩形,公共边为CC1在面ABB1A1内的投影,故选A. 3.【解析】选C.当俯视图为A,B时表示底面为等腰直角三角形,且过直角顶点的棱与底面垂直的三棱锥.当俯视图为D时,表示底面为正方形,且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥.故选C. 【方法技巧】由直观图画三视图的技巧 (1)可以想象将一几何体放在自己面前,然后从正前方,左侧及上面观察该几何体,进而得到主视图、左视图和俯视图. (2)在画三视图时,要注意看得见的轮廓线画成实线,看不见的轮廓线画成虚线. 4.【解析】选D.由AA′∥BB′∥CC′及CC′⊥平面ABC,知AA′⊥平面ABC, BB′⊥平面ABC.又CC′=BB′=3AA′,且△ABC为正三角形,故主视图应为D中的图形. 5.【解析】选B.如图将直观图ABCD还原后为直角梯形 A′BCD′,其中 A′B=2AB=2,BC=1+,A′D′=AD=1, ∴S=×(1+1+)×2=2+. 6.【解析】选C.依题意可知该几何体的直观图如图所示,故其俯视图应为C.  7.【解析】选C.依题意得,题中提供的选项中,图②④可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的主视图,选C. 8.【解析】如图所示,∵OE==1, ∴O′E′=,E′F′=, ∴直观图A′B′C′D′的面积为S′=×(1+3)×=.  答案: 9.【解析】设正三棱柱的底面边长为a,利用体积为2,很容易求出这个正三棱柱的底面边长和侧棱长都是2,所以底面正三角形的高为,故所求矩形的面积为2. 答案:2 10.【解析】由题意可知,该三棱锥的俯视图是一个底边长为2,高为1的三角形,则其面积为1. 答案:1 11.【思路点拨】可将该几何体放在长方体中,且已知长为的棱为长方体的体对角线来解决. 【解析】如图,把几何体放到长方体中,使得长方体的体对角线刚好为几何体的已知棱,则长方体的体对角线A1C=,则它的主视图投影长为A1B=,左视图投影长为A1D=a,俯视图投影长为A1C1=b,则a2+b2+()2=2×()2,即a2+b2=8, 又≤,当且仅当“a=b=2”时等号成立. ∴a+b≤4,即a+b的最大值为4.
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