高考数学（理）一轮：一课双测A+B精练(四十二) 空间几何体的结构特征及三视图和直观图
1．(2012·青岛摸底)如图，在下列四个几何体中，其三视图(正视图、侧视图、俯视图)中有且仅有两个相同的是( )
A．②③④ B．①②③ C．①③④ D．①②④
2．有下列四个命题：
①底面是矩形的平行六面体是长方体；
②棱长相等的直四棱柱是正方体；
③有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体；
④对角线相等的平行六面体是直平行六面体．
其中真命题的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
3．一个锥体的正视图和侧视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是( )
4．如图是一几何体的直观图、正视图和俯视图．在正视图右侧，按照画三视图的要求画出的该几何体的侧视图是( )
5.如图△A′B′C′是△ABC的直观图，那么△ABC是( )
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．钝角三角形
6．(2012·东北三校一模)一个几何体的三视图如图所示，则侧视图的面积为( )
A．2＋ B．1＋ C．2＋2 D．4＋
7．(2012·昆明一中二模)一个几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，且体积为，则这个几何体的俯视图可能是下列图形中的________．(填入所有可能的图形前的编号)
①锐角三角形；②直角三角形；③四边形；④扇形；⑤圆
8．(2013·安徽名校模拟)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．
9．正四棱锥的底面边长为2，侧棱长均为，其正视图(主视图)和侧视图(左视图)是全等的等腰三角形，则正视图的周长为________．
10．已知：图1是截去一个角的长方体，试按图示的方向画出其三视图；图2是某几何体的三视图，试说明该几何体的构成．
11．(2012·银川调研)正四棱锥的高为，侧棱长为，求侧面上斜高(棱锥侧面三角形的高)为多少？
12．(2012·四平模拟)已知正三棱锥V－ABC的正视图、侧视图和俯视图如图所示．
(1)画出该三棱锥的直观图；
(2)求出侧视图的面积．
1．(2012·江西八所重点高中模拟)底面水平放置的正三棱柱的所有棱长均为2，当其主视图有最大面积时，其侧视图的面积为( )
A．2 B．3 C. D．4
2．(2013·深圳模拟)如图所示的几何体中，四边形ABCD是矩形，平面ABCD⊥平面ABE，已知AB＝2，AE＝BE＝，且当规定正视方向垂直平面ABCD时，该几何体的侧视图的面积为.若M，N分别是线段DE，CE上的动点，则AM＋MN＋NB的最小值为________．
3．一个多面体的直观图、正视图、侧视图如图1和2所示，其中正视图、侧视图均为边长为a的正方形．
(1)请在图2指定的框内画出多面体的俯视图；
(2)若多面体底面对角线AC，BD交于点O，E为线段AA1的中点，求证：OE∥平面A1C1C；
(3)求该多面体的表面积．
[答 题 栏]
A级
1._________ 2._________ 3._________ 4._________ 5._________ 6._________
B级
1.______ 2.______
7. __________ 8. __________ 9. __________
答 案
高考数学（理）一轮：一课双测A+B精练(四十)
A级
1．选A ①的三个视图都是边长为1的正方形；②的俯视图是圆，正视图、侧视图都是边长为1的正方形；③的俯视图是一个圆及其圆心，正视图、侧视图是相同的等腰三角形；④的俯视图是边长为1的正方形，正视图、侧视图是相同的矩形．
2．选A 命题①不是真命题，因为底面是矩形，但侧棱不垂直于底面的平行六面体不是长方体；命题②不是真命题，因为底面是菱形(非正方形)，底面边长与侧棱长相等的直四棱柱不是正方体；命题③也不是真命题，因为有两条侧棱都垂直于底面一边不能推出侧棱与底面垂直；命题④是真命题，由对角线相等，可知平行六面体的对角面是矩形，从而推得侧棱与底面垂直，故平行六面体是直平行六面体．
3．选C C选项不符合三视图中“宽相等”的要求，故选C.
4．选B 由直观图和正视图、俯视图可知，该几何体的侧视图应为面PAD，且EC投影在面PAD上，故B正确．
5．选B 由斜二测画法知B正确．
6．选D 依题意得，该几何体的侧视图的面积等于22＋×2×＝4＋.
7．解析：如图1所示，直三棱柱ABE－A1B1E1符合题设要求，此时俯视图△ABE是锐角三角形；如图2所示，直三棱柱ABC－A1B1C1符合题设要求，此时俯视图△ABC是直角三角形；如图3所示，当直四棱柱的八个顶点分别是正方体上、下各边的中点时，所得直四棱柱ABCD－A1B1C1D1符合题设要求，此时俯视图(四边形ABCD)是正方形；若俯视图是扇形或圆，体积中会含有π，故排除④⑤.
答案：①②③
8．解析：结合三视图可知，该几何体为底面边长为2、高为2的正三棱柱除去上面的一个高为1的三棱锥后剩下的部分，其直观图如图所示，故该几何体的体积为×2×2sin 60°×2－××2×2sin 60°×1＝.
答案：
9.解析：由题意知，正视图就是如图所示的截面PEF，其中E、F分别是AD、BC的中点，连接AO，易得AO＝，而PA＝，于是解得PO＝1，所以PE＝，故其正视图的周长为2＋2.
答案：2＋2
10．解：图1几何体的三视图为：
图2所示的几何体是上面为正六棱柱，下面为倒立的正六棱锥的组合体．
11．解：如图所示，正四棱锥S－ABCD中，
高OS＝，
侧棱SA＝SB＝SC＝SD＝，
在Rt△SOA中，
OA＝＝2，∴AC＝4.
∴AB＝BC＝CD＝DA＝2.
作OE⊥AB于E，则E为AB中点．
连接SE，则SE即为斜高，
在Rt△SOE中，∵OE＝BC＝，SO＝，
∴SE＝，即梭锥的斜高为.
12．解： (1)三棱锥的直观图如图所示．
(2)根据三视图间的关系可得BC＝2，
∴侧视图中
VA＝
＝＝2，
∴S△VBC＝×2×2＝6.
B级
1．选A 当正视图的面积达最大时可知其为正三棱柱某个侧面的面积，可以按如图所示位置放置，此时侧视图的面积为2.
2．解析：依题意得，点E到直线AB的距离等于＝，因为该几何体的侧视图的面积为·BC×＝，所以BC＝1，DE＝EC＝DC＝2.所以△DEC是正三角形，∠DEC＝60°，tan ∠DEA＝＝，∠DEA＝∠CEB＝30°.把△DAE，△DEC与△CEB展在同一平面上，此时连接AB，AE＝BE＝，∠AEB＝∠DEA＋∠DEC＋∠CEB＝120°，AB2＝AE2＋BE2－2AE·BEcos 120°＝9，即AB＝3，即AM＋MN＋NB的最小值为3.
答案：3
3．解：(1)根据多面体的直观图、正视图、侧视图，得到俯视图如下：
(2)
证明：如图，连接AC，BD，交于O点，连接OE.
∵E为AA1的中点，O为AC的中点，
∴在△AA1C中，OE为△AA1C的中位线．
∴OE∥A1C.
∵OE?平面A1C1C，A1C?平面A1C1C，
∴OE∥平面A1C1C.
(3)多面体表面共包括10个面，SABCD＝a2，
SA1B1C1D1＝，
S△ABA1＝S△B1BC＝S△C1DC＝S△ADD1＝，
S△AA1D1＝S△B1A1B＝S△C1B1C＝S△DC1D1
＝××＝，
∴该多面体的表面积S＝a2＋＋4×＋4×＝5a2.
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