高考数学（理）一轮：一课双测A+B精练(四十三) 空间几何体的表面积和体积
1．(2012·北京西城模拟)某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是( )
A．8 B.
C．4 D.
2．(2012·山西模拟)已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且AB＝3，BC＝2，则棱锥O－ABCD的体积为( )
A. B．3
C．2 D．6
3．(2012·马鞍山二模)如图是一个几何体的三视图，则它的表面积为( )
A．4π B.π
C．5π D.π
4．(2012·济南模拟)用若干个大小相同，棱长为1的正方体摆成一个立体模型，其三视图如图所示，则此立体模型的表面积为( )
A．24 B．23
C．22 D．21
5．(2012·杭州二模)一个空间几何体的三视图及其相关数据如图所示，则这个空间几何体的表面积是( )
A. B.＋6
C．11π D.＋3
6.如图，正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为4，动点E，F在棱AB上，且EF＝2，动点Q在棱D′C′上，则三棱锥A′－EFQ的体积( )
A．与点E，F位置有关
B．与点Q位置有关
C．与点E，F，Q位置都有关
D．与点E，F，Q位置均无关，是定值
7．(2012·湖州模拟)如图所示，已知一个多面体的平面展开图由一个边长为1的正方形和4个边长为1的正三角形组成，则该多面体的体积是________．
8．(2012·上海高考)若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为________．
9．(2013·郑州模拟)在三棱锥A－BCD中，AB＝CD＝6，AC＝BD＝AD＝BC＝5，则该三棱锥的外接球的表面积为________．
10．(2012·江西八校模拟)如图，把边长为2的正六边形ABCDEF沿对角线BE折起，使AC＝.
(1)求证：面ABEF⊥面BCDE；
(2)求五面体ABCDEF的体积．
11．(2012·山西大同质检)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面是直角梯形ABCD，其中AD⊥AB，CD∥AB，AB＝4，CD＝2，侧面PAD是边长为2的等边三角形，且与底面ABCD垂直，E为PA的中点．
(1)求证：DE∥平面PBC；
(2)求三棱锥A－PBC的体积．
12．(2012·湖南师大附中月考)一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示，其正视图、俯视图均为矩形，侧视图为直角三角形．
(1)请画出该几何体的直观图，并求出它的体积；
(2)证明：A1C⊥平面AB1C1.
1．(2012·潍坊模拟)已知矩形ABCD的面积为8，当矩形ABCD周长最小时，沿对角线AC把△ACD折起，则三棱锥D－ABC的外接球表面积等于( )
A．8π B．16π
C．48π D．不确定的实数
2．(2012·江苏高考)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝3 cm，AA1＝2 cm，则四棱锥A－BB1D1D的体积为________cm3.
3．(2013·深圳模拟)如图，平行四边形ABCD中，AB⊥BD，AB＝2，BD＝，沿BD将△BCD折起，使二面角A－BD－C是大小为锐角α的二面角，设C在平面ABD上的射影为O.
(1)当α为何值时，三棱锥C－OAD的体积最大？最大值为多少？
(2)当AD⊥BC时，求α的大小．
[答 题 栏]
A级
1._________ 2._________ 3._________ 4._________ 5.__________ 6._________
B级
1.______ 2.______
7. __________ 8. __________ 9. __________
答 案
高考数学（理）一轮：一课双测A+B精练(四十三)
A级
1．选D 将三视图还原，直观图如图所示，可以看出，这是一个底面为正方形(对角线长为2)，高为2的四棱锥，其体积V＝S正方形ABCD×PA＝××2×2×2＝.
2．选A 依题意得，球心O在底面ABCD上的射影是矩形ABCD的中心，因此棱锥O－ABCD的高等于＝，所以棱锥O－ABCD的体积等于×(3×2)×＝.
3．选D 由三视图可知该几何体是半径为1的球被挖出了部分得到的几何体，故表面积为
·4π·12＋3··π·12＝π.
4．选C 这个空间几何体是由两部分组成的，下半部分为四个小正方体，上半部分为一个小正方体，结合直观图可知，该立体模型的表面积为22.
5．选D 这个空间几何体是一个圆台被轴截面割出来的一半．根据图中数据可知这个圆台的上底面半径是1，下底面半径是2，高为，母线长是2，其表面积是两个半圆、圆台侧面积的一半和一个轴截面的面积之和，故S＝π×12＋π×22＋π(1＋2)×2＋×(2＋4)×＝＋3.
6．选D 因为VA′－EFQ＝VQ－A′EF＝××4＝，故三棱锥A′－EFQ的体积与点E，F，Q的位置均无关，是定值．
7．解析：由题知该多面体为正四棱锥，底面边长为1，侧棱长为1，斜高为，连接顶点和底面中心即为高，可求得高为，所以体积V＝×1×1×＝.
答案：
8．解析：因为半圆的面积为2π，所以半圆的半径为2，圆锥的母线长为2.底面圆的周长为2π，所以底面圆的半径为1，所以圆锥的高为，体积为π.
答案：π
9．解析：依题意得，该三棱锥的三组对棱分别相等，因此可将该三棱锥补形成一个长方体，设该长方体的长、宽、高分别为a、b、c，且其外接球的半径为R，则
得a2＋b2＋c2＝43，即(2R)2＝a2＋b2＋c2＝43，易知R即为该三棱锥的外接球的半径，所以该三棱锥的外接球的表面积为
4πR2＝43π.
答案：43π
10．解：设原正六边形中，AC∩BE＝O，DF∩BE＝O′，由正六边形的几何性质可知OA＝OC＝，AC⊥BE，DF⊥BE.
(1)证明：在五面体ABCDE中，OA2＋OC2＝6＝AC2，
∴OA⊥OC，
又OA⊥OB，∴OA⊥平面BCDE.∵OA?平面ABEF，
∴平面ABEF⊥平面BCDE.
(2)由BE⊥OA，BE⊥OC知BE⊥平面AOC，同理BE⊥平面FO′D，∴平面AOC∥平面FO′D，故AOC－FO′D是侧棱长(高)为2的直三棱柱，且三棱锥B－AOC和E－FO′D为大小相同的三棱锥，
∴VABCDEF＝2VB－AOC＋VAOC－FO′D
＝2×××()2×1＋×()2×2＝4.
11．解：(1)证明：如图，取AB的中点F，连接DF，EF.
在直角梯形ABCD中，CD∥AB，且AB＝4，CD＝2，所以BF綉CD.
所以四边形BCDF为平行四边形．
所以DF∥BC.
在△PAB中，PE＝EA，AF＝FB，所以EF∥PB.
又因为DF∩EF＝F，PB∩BC＝B，
所以平面DEF∥平面PBC.
因为DE?平面DEF，所以DE∥平面PBC.
(2)取AD的中点O，连接PO.
在△PAD中，PA＝PD＝AD＝2，
所以PO⊥AD，PO＝.
又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，
所以PO⊥平面ABCD.
在直角梯形ABCD中，CD∥AB，且AB＝4，AD＝2，
AB⊥AD，
所以S△ABC＝×AB×AD＝×4×2＝4.
故三棱锥A－PBC的体积VA－PBC＝VP－ABC＝×S△ABC×PO＝×4×＝.
12．解：(1)几何体的直观图如图所示，四边形BB1C1C是矩形，BB1＝CC1＝，BC＝B1C1＝1，四边形AA1C1C是边长为的正方形，且平面AA1C1C垂直于底面BB1C1C，
故该几何体是直三棱柱，其体积V＝S△ABC·BB1＝×1××＝.
(2)证明：由(1)知平面AA1C1C⊥平面BB1C1C且B1C1⊥CC1，
所以B1C1⊥平面ACC1A1.所以B1C1⊥A1C.
因为四边形ACC1A1为正方形，所以A1C⊥AC1.
而B1C1∩AC1＝C1，所以A1C⊥平面AB1C1.
B级
1．选B 设矩形长为x，宽为y，
周长P＝2(x＋y)≥4＝8，当且仅当x＝y＝2时，周长有最小值．
此时正方形ABCD沿AC折起，
∵OA＝OB＝OC＝OD，三棱锥D－ABC的四个顶点都在以O为球心，以2为半径的球上，
此球表面积为4π×22＝16π.
2．解析：由题意得
VA－BB1D1D＝VABD－A1B1D1＝××3×3×2＝6.
答案：6
3．解：(1)由题知CO⊥平面ABD，∴CO⊥BD，
又BD⊥CD，CO∩CD＝C，∴BD⊥平面COD.
∴BD⊥OD.∴∠ODC＝α.
VC－AOD＝S△AOD·OC＝×·OD·BD·OC
＝·OD·OC＝·CD·cos α·CD·sin α
＝·sin 2α≤，
当且仅当sin 2α＝1，即α＝45°时取等号．
∴当α＝45°时，三棱锥C－OAD的体积最大，最大值为.
(2)连接OB，
∵CO⊥平面ABD，∴CO⊥AD，
又AD⊥BC，
∴AD⊥平面BOC.
∴AD⊥OB.
∴∠OBD＋∠ADB＝90°.
故∠OBD＝∠DAB，又∠ABD＝∠BDO＝90°，
∴Rt△ABD∽Rt△BDO.
∴＝.
∴OD＝＝＝1，
在Rt△COD中，cos α＝＝，得α＝60°.
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