巩固双基,提升能力
1．(2012·江西)在实数范围内，不等式|2x－1|＋|2x＋1|≤6的解集为__________．
解析：原不等式可化为或
或
解得－≤x≤，
即原不等式的解集为.
答案：
2．(2012·山东)若不等式|kx－4|≤2的解集为{x|1≤x≤3}，则实数k＝__________.
解析：依题可知x＝1和x＝3是方程|kx－4|＝2的两根，∴?k＝2.
答案：2
3．(2013·宝鸡调研)若关于x的不等式|x＋1|＋|x－2|≤a有解，则实数a的取值范围是________．
解析：由绝对值的几何意义知|x＋1|＋|x－2|≥3，若原不等式有解，应该有a≥3.
答案：[3，＋∞)
4．(2013·鹰潭质检)设函数f(x)＝，
若函数f(x)的定义域为R，则实数a的取值范围是__________．
解析：由题意知|x＋1|－|x－2|－a≥0，即a≤|x＋1|－|x－2|对x∈R恒成立，由绝对值的几何意义知，－3≤|x＋1|－|x－2|≤3，故a≤－3.
答案：(－∞，－3]
5．(2013·日照调研)不等式|x－1|＋|x|＜3的解集是__________．
解析：∵|x－1|＋|x|表示数轴上到0,1两点的距离之和，距离之和正好等于3的两点为－1,2，数形结合可得解集为{x|－1＜x＜2}．
答案：{x|－1＜x＜2}
6．(2011·江西)对于实数x，y，若|x－1|≤1，|y－2|≤1，则|x－2y＋1|的最大值为__________．
解析：|x－2y＋1|＝|x－1－2(y－2)－2|≤|x－1|＋2|y－2|＋2≤1＋2×1＋2＝5.
答案：5
7．(2012·课标全国)已知函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|.
(1)当a＝－3时，求不等式f(x)≥3的解集；
(2)若f(x)≤|x－4|的解集包含[1,2]，求a的取值范围．
解析：(1)当a＝－3时，f(x)＝
当x≤2时，由f(x)≥3得－2x＋5≥3，解得x≤1；
当2＜x＜3时，f(x)≥3无解；
当x≥3时，由f(x)≥3得2x－5≥3，解得x≥4；
所以f(x)≥3的解集为{x|x≤1}∪{x|x≥4}＝{x|x≤1或x≥4}．
(2)f(x)≤|x－4|?|x－4|－|x－2|≥|x＋a|.
当x∈[1,2]时，|x－4|－|x－2|≥|x＋a|，
?4－x－(2－x)≥|x＋a|
?－2－a≤x≤2－a.
由条件得－2－a≤1且2－a≥2，即－3≤a≤0.
故满足条件的a的取值范围为[－3,0]．
8．(2012·辽宁)已知f(x)＝|ax＋1|(a∈R)，不等式f(x)≤3的解集为{x|－2≤x≤1}．
(1)求a的值；
(2)若|f(x)－2f|≤k恒成立，求k的取值范围．
解析：(1)由|ax＋1|≤3得－4≤ax≤2，
又f(x)≤3的解集为{x|－2≤x≤1}，
所以当a≤0时，不合题意；
当a＞0时，－≤x≤，得a＝2.
(2)记h(x)＝f(x)－2f，则
h(x)＝
所以|h(x)|≤1，因此k≥1.
9．(2013·吉林省质检)设函数f(x)＝
.
(1)当a＝－5时，求函数f(x)的定义域；
(2)若函数f(x)的定义域为R，试求a的取值范围．
解析：(1)由题设，知|x＋1|＋|x－2|－5≥0，
如图，在同一坐标系中作出函数y＝|x＋1|＋|x－2|和y＝5的图像，得定义域为(－∞，－2]∪[3，＋∞)．
(2)由题设，知当x∈R时，恒有|x＋1|＋|x－2|＋a≥0，
即|x＋1|＋|x－2|≥－a.
又由(1)|x＋1|＋|x－2|≥3，得－a≤3?a≥－3.
10．(2013·沈阳市质检)已知函数
f(x)＝log2(|x－1|＋|x－5|－a)．
(1)当a＝2时，求函数f(x)的最小值；
(2)当函数f(x)的定义域为R时，求实数a的取值范围．
解析：函数的定义域满足|x－1|＋|x－5|－a＞0，
即|x－1|＋|x－5|＞a.
(1)当a＝2时，f(x)＝log2(|x－1|＋|x－5|－2)，
设g(x)＝|x－1|＋|x－5|，则
g(x)＝|x－1|＋|x－5|＝
g (x)min＝4，f(x)min＝log2(4－2)＝1.
(2)由(1)知，g(x)＝|x－1|＋|x－5|的最小值为4，
|x－1|＋|x－5|－a＞0，得a＜4，
故a的取值范围是(－∞，4)．
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