第2课时 椭圆方程及性质的应用
双基达标 ?限时20分钟?
1．椭圆＋＝1的一个焦点为F1，点P在椭圆上．如果线段PF1的中点M在y轴上，那么点M的纵坐标是 ( )．
A．± B．± C．± D．±
解析 由条件可得F1(－3，0)，PF1的中点在y轴上，
∴P坐标(3，y0)，又P在＋＝1的椭圆上得y0＝±，
∴M的坐标(0，±)，故选A.
答案 A
2．如图所示，直线l：x－2y＋2＝0过椭圆的左焦点F1和一个顶点B，该椭圆的离心率为( )．
A. B. C. D.
解析 由条件知，F1(－2，0)，B(0，1)，∴b＝1，c＝2，
∴a＝＝，
∴e＝＝＝.
答案 D
3．已知椭圆＋＝1的上焦点为F，直线x＋y－1＝0和x＋y＋1＝0与椭圆分别相交于点A，B和C，D，则AF＋BF＋CF＋DF＝ ( )．
A．2 B．4 C．4 D．8
解析 如图，两条平行直线分别经过椭圆的两个焦点，连接
AF1、FD.由椭圆的对称性可知，四边形AFDF1(其中F1为椭
圆的下焦点)为平行四边形，
∴AF1＝FD，同理BF1＝CF，
∴AF＋BF＋CF＋DF＝AF＋BF＋BF1＋AF1＝4a＝8.
答案 D
4．直线y＝x＋2与椭圆＋＝1有两个公共点，则m的取值范围是________．
解析 由消去y，
整理得(3＋m)x2＋4mx＋m＝0.
若直线与椭圆有两个公共点，
则解得
由＋＝1表示椭圆知，m>0且m≠3.
综上可知，m的取值范围是(1，3)∪(3，＋∞)．
答案 (1，3)∪(3，＋∞)
5．椭圆x2＋4y2＝16被直线y＝x＋1截得的弦长为________．
解析 由消去y并化简得x2＋2x－6＝0.
设直线与椭圆的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则x1＋x2＝－2，x1x2＝－6.
∴弦长|MN|＝
＝
＝
＝＝.
答案
6．已知直线l：y＝kx＋1与椭圆＋y2＝1交于M、N两点，且|MN|＝.求直线l的方程．
解 设直线l与椭圆的交点
M(x1，y1)，N(x2，y2)，
由消y并化简，得(1＋2k2)x2＋4kx＝0，
∴x1＋x2＝－，x1x2＝0.
由|MN|＝，得(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝，
∴(1＋k2)(x1－x2)2＝，
∴(1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2]＝.
即(1＋k2)(－)2＝.
化简，得k4＋k2－2＝0，∴k2＝1，∴k＝±1.
∴所求直线l的方程是y＝x＋1或y＝－x＋1.
综合提高（限时25分钟）
7．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率是，过椭圆上一点M作直线MA，MB分别交椭圆于A，B两点，且斜率分别为k1，k2，若点A，B关于原点对称，则k1·k2的值为 ( )．
A. B．－ C. D．－
解析 设点M(x，y)，A(x1，y1)，B(－x1，－y1)，
则y2＝b2－，y12＝b2－，
所以k1·k2＝·＝＝－＝－1＝e2－1＝－，
即k1·k2的值为－.
答案 D
8．已知椭圆C：＋y2＝1的右焦点为F，直线l：x＝2，点A∈l，线段AF交C于点B，若＝3，则||＝ ( )．
A. B．2 C. D．3
解析 设点A(2，n)，B(x0，y0)．
由椭圆C：＋y2＝1知a2＝2，b2＝1，
∴c2＝1，即c＝1，∴右焦点F(1，0)．
∴由＝3得(1，n)＝3(x0－1，y0)．
∴1＝3(x0－1)且n＝3y0.
∴x0＝，y0＝n.
将x0，y0代入＋y2＝1，得
×()2＋(n)2＝1.
解得n2＝1，∴||＝＝＝.所以选A.
答案 A
9．已知F1、F2为椭圆＋＝1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点．若|F2A|＋|F2B|＝12，则|AB|＝________.
解析 由题意知(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)＝|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝2a＋2a，又由a＝5，
可得|AB|＋(|BF2|＋|AF2|)＝20，即|AB|＝8.
答案 8
10．如图，在平面直角坐标系xOy中，A1，A2，B1，B2为椭圆＋＝1(a>b>0)的四个顶点，F为其右焦点，直线A1B2与直线B1F相交于点T，线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点，则该椭圆的离心率为________．
解析 直线A1B2的方程为＋＝1，直线B1F的方程为＋＝1，二者联立，得T(，
)，
则M(，)在椭圆＋＝1(a>b>0)上，
∴＋＝1，
c2＋10ac－3a2＝0，e2＋10e－3＝0，解得e＝2－5.
答案 2－5
11．已知过点A(－1，1)的直线与椭圆＋＝1交于点B、C，当直线l绕点A(－1，1)旋转时，求弦BC中点M的轨迹方程．
解 设直线l与椭圆的交点B(x1，y1)，C(x2，y2)，
弦BC中点M(x，y)，
则＋＝1，①
＋＝1.②
②－①，得(－)＋(－)＝0.
∴(x2＋x1)(x2－x1)＋2(y2＋y1)(y2－y1)＝0.③
当x1≠x2时，＝x，＝y，＝，
又∵③式可化为(x1＋x2)＋2(y1＋y2)·＝0.
∴2x＋2·2y·＝0，化简得x2＋2y2＋x－2y＝0.
当x1＝x2时，由点M(x，y)是线段BC中点，
∴x＝－1，y＝0，显然适合上式．
总之，所求弦中点M的轨迹方程是x2＋2y2＋x－2y＝0.
12．(创新拓展)如图所示，点A、B分别是椭圆＋＝1长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于x轴上方，PA⊥PF.
(1)求点P的坐标；
(2)设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值．
解 (1)由已知可得点A(－6，0)，F(4，0)，
设点P的坐标是(x，y)，
则＝(x＋6，y)，＝(x－4，y)．
由已知得
则2x2＋9x－18＝0,
即得x＝或x＝－6.
由于y>0，只能x＝，于是y＝.
∴点P的坐标是(，)．
(2)直线AP的方程是x－y＋6＝0.
设点M的坐标是(m，0)，
则M到直线AP的距离是，
于是＝|m－6|，
又－6≤m≤6，解得m＝2，
设椭圆上的点(x，y)到点M的距离d，有
d2＝(x－2)2＋y2＝x2－4x＋4＋20－x2
＝(x－)2＋15，
由于－6≤x≤6.
∴当x＝时，d取最小值.
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