1.3.2 组合数的性质同步练习
一、选择题
1．某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有( )[来源: ]
A．30种
B．35种
C．42种
D．48种
2．甲组有5名男同学、3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学．若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有( )
A．150种
B．180种[来源: ]
C．300种
D．345种
3．(2010年高考大纲全国卷Ⅱ)将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1,2的卡片放入同一信封，则不同的放法共有( )
A．12种
B．18种
C．36种 [来源: ]
D．54种
4．从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有( )
A．70种
B．80种
C．100种
D．140种
5．在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息，不同排列表示不同信息．若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为( )
A．10
B．11
C．12
D．15
6.如图所示的四棱锥中，顶点为P，从其他的顶点和各棱中点中取3个，使它们和点P在同一平面内，不同的取法种数为( )
A．40
B．48
C．56
D．62
二、填空题
7．从1,2,3,4这四个数中一次随机地取两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率是________．
8．某运动队有5对老搭档运动员，现抽派4个运动员参加比赛，则这4人都不是老搭档的抽派方法数为________．
9．在50件产品中有4件是次品，从中任意抽出5件，至少有三件是次品的抽法共有________种．
三、解答题
10．现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名．
(1)现要从中选2名去参加会议，有多少种不同的选法？
(2)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？
11．有9本不同的课外书，分给甲、乙、丙三名同学，求在下列条件下，各有多少种不同的分法？
(1)甲得4本，乙得3本，丙得2本；[来源: ]
(2)一人得4本，一人得3本，一人得2本；
(3)甲、乙、丙各得3本．
12．如图，
在以AB为直径的半圆周上，有异于A、B的六个点C1、C2、C3、C4、C5、C6，直径AB上有异于A、B的四个点D1、D2、D3、D4.
(1)以这10个点中的3个点为顶点作三角形可作出多少个？其中含C1点的有多少个？
(2)以图中的12个点(包括A、B)中的4个点为顶点，可作出多少个四边形？
1.3.2 组合数的性质同步练习答案
一、选择题
1.解析：选A.法一：可分两种互斥情况：A类选1门，B类选2门或A类选2门，B类选1门，共有CC＋CC＝18＋12＝30种选法．
法二：总共有C＝35种选法，减去只选A类的C＝1种，再减去只选B类的C＝4种，故有30种选法．
2.解析：选D.依题意，就所选出的1名女同学的来源分类：第一类，所选出的1名女同学来自于甲组的相应选法有C·C·C＝225种；第二类，所选出的1名女同学来自于乙组的相应选法有C·C·C＝120种．因此满足题意的选法共有225＋120＝345种，选D.
3.解析：选B.先将1,2捆绑后放入信封中，有C种方法，再将剩余的4张卡片放入另外两个信封中，有CC种方法，所以共有CCC＝18种方法．
4.解析：选A.当选择的3名医生都是男医生或都是女医生时，共有C＋C＝14种组法，从9人中选择3人一共有C＝84种组法，所以要求男，女医生都有的情况共有84－14＝70种组队方法．本题也可以应用直接法进行求解：当小分队中有一名女医生时有CC＝40种组法；当小分队中有2名女医生时有CC＝30种组法，故共有70种组队方法．
5.解析：选B.与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息包括三类：
第一类：与信息0110恰有两个对应位置上的数字相同，即从4个位置中选2个位置相同，其他2个不同，有C＝6个；
第二类：与信息0110恰有一个对应位置上的数字相同，即从4个位置中选1个位置相同，其他3个不同，有C＝4个；
第三类：与信息0110没有一个对应位置上的数字相同，即4个对应位置上的数字都不同，有C＝1个．
由加法原理知，与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为6＋4＋1＝11.
6.解析：选C.满足要求的点的取法可分为3类：
第1类，在四棱锥的每个侧面上除点P外任取3点，有4C种取法；
第2类，在两个对角面上除点P外任取3点，有2C种取法；
第3类，过点P的四条棱中，每一条棱上的两点和与这条棱异面的两条棱的中点也共面，有4C种取法．
所以，满足题意的不同取法共有4C＋2C＋4C＝56种．
二、填空题
7.解析：从1,2,3,4中任取两个数的组合个数为C＝6，满足一个数是另一个数两倍的组合为{1,2}，{2,4}，故P＝＝.
答案：
8.解析：先抽取4对老搭档运动员，再从每对老搭档运动员中各抽1人，故有CCCCC＝80(种)．[来源:]
答案：80
9.解析：分两类，有4件次品的抽法为CC(种)；有三件次品的抽法有CC(种)，所以共有CC＋CC＝4186种不同的抽法．
答案：4186
三、解答题
10.解：(1)从10名教师中选2名去参加会议的选法数，就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数，即C＝＝45(种)．
(2)从6名男教师中选2名的选法有C种，从4名女教师中选2名的选法有C种，根据分步乘法计数原理，共有选法C·C＝·＝90(种)．
11.解：(1)甲得4本，乙得3本，丙得2本，这件事分三步完成．
第一步：从9本不同的书中，任取4本分给甲，有C种方法；
第二步：从余下的5本书中，任取3本分给乙，有C种方法；
第三步：把剩下的两本书给丙，有C种方法．
根据分步乘法计数原理知，共有不同的分法
CCC＝1260(种)．
所以甲得4本，乙得3本，丙得2本的分法共有1260种．
(2)一人得4本，一人得3本，一人得2本，这件事分两步完成．
第一步：按4本、3本、2本分成三组，有CCC种方法；
第二步：将分成的三组书分给甲、乙、丙三个人，有A种方法．
根据分步乘法计数原理知，共有不同的分法
CCCA＝7560(种)．
所以一人得4本，一人得3本，一人得2本的分法共有7560(种)．
(3)用与(1)相同的方法求解，得
CCC＝1680(种)．
所以甲、乙、丙各得3本的分法共有1680种．
12.解：(1)可分三种情况处理：
①C1、C2、…、C6这六个点任取三点可构成一个三角形；
②C1、C2、…、C6中任取一点，D1、D2、D3、D4中任取两点可构成一个三角形；
③C1、C2、…、C6中任取两点，D1、D2、D3、D4中任取一点可构成一个三角形．
∴C＋CC＋CC＝116(个)．
其中含C1点的三角形有C＋C·C＋C＝36(个)．
(2)构成一个四边形，需要四个点，且无三点共线，
∴共有C＋CC＋CC＝360(个)．
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