课时提能演练
1.(2012·汕头模拟)如图：PA切圆O于点A，PA=4，PBC过圆心O，且与圆相交于B、C两点，AB∶AC=1∶2,则圆O的半径为______.
2.如图,AB、AC是⊙O的两条弦，∠A=30°，过点C的切线与OB的延长线交于点D，则∠D的度数为_______.
3.如图，⊙O是正方形ABCD的外接圆，F是AB的中点，CF的延长线交⊙O于点E，那么CF∶EF的值是_______.
4.(2011·广东高考)如图，过圆O外一点P分别作圆的切线和割线交圆于A,B,且PB=7，点C是圆上一点使得BC=5，∠BAC=∠APB，则AB=________.
5.圆外切等腰梯形的上底长为4 cm，圆的半径为3 cm，那么这个梯形的腰长
是______.
6.如图，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上.若∠AOD=30°,则∠BCD的度数
是______.
7.如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB和DC相交于点P.若,则的值为______.
8.如图，⊙O是△ABC的外接圆，过点C的切线交AB的延长线于点D，CD=，AB=BC=3，则AC=_______.
9.如图，已知△ABC中，∠B=60°,CD⊥AB,AE⊥BC,则的值是______.
10.(2011·天津高考)如图,已知圆中两条弦AB与CD相交于点F,E是AB延长线上一点，且DF=CF=，AF∶FB∶BE=4∶2∶1.若CE与圆相切,则线段CE的长
为________.
11.如图，⊙O的弦ED，CB的延长线交于点A.若BD⊥AE,AB=4,BC=2,AD=3,则DE=______;CE=______.
12.如图，PC是⊙O的切线，点C为切点，PAB为割线，PC=4，PB=8，∠B=30°,则BC=_______.
13.如图，PT为⊙O的切线，T为切点，PA是割线，它与⊙O的交点是A、B，与直径CT交于点D.已知CD=2，AD=3，BD=4，那么PB=______.
14.如图，AB、CD是半径为a的⊙O的两条弦，它们相交于AB的中点P，PD=,∠OAP=30°，则CP=______.
15.如图，已知AB是⊙O的弦，AC切⊙O于点A，∠BAC=60°,则∠D的度数
是______.
16.(2011·湖南高考)如图所示，A，E是半圆周上的两个三等分点，直径BC=4，AD⊥BC，垂足为D，BE与AD相交于点F，则AF的长为______.
17.如图，△ABC内接于圆，AB=AC=，Q为圆上一点，AQ和BC的延长线交于点P，且AQ∶QP=1∶2，则AP=______.
18.如图所示，梯形ABCD内接于⊙O,AD∥BC,过B引⊙O的切线分别交DA、CA的延长线于E、F.已知BC=8，CD=5，AF=6，则EF的长为______.
19.如图，△ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E.若△ABC的面积S=AD·AE，则∠BAC=______.
20.如图，已知A、B、C、D、E五点都在⊙O上，且AC为
⊙O的直径，则∠A+∠B+∠C=______.
21.如图所示，AB是⊙O的直径，MN与⊙O切于点C，AC=BC，则
sin∠MCA=________.
22.如图，⊙O上一点C在直径AB上的射影为点D，CD=4，BD=8，则⊙O的半径等于________.
23.如图，已知AB是⊙O的直径，CD与AB相交于点E，∠ACD=
60°,∠ADC=45°，则∠AEC=_______.
24.如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为点D，∠DAB=80°,则
∠ACO=________.
25.如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，AP和过C的切线互相垂直，垂足为点P，过点B的切线交过C的切线于点T，PB交⊙O于点Q.若∠BTC=120°,AB=4,则PQ·PB=________.
26.如图，PA切⊙O于点A，割线PBC经过圆心O，OB=PB=1，OA绕点O逆时针旋转60°到OD，则PD的长为________.
27.如图，分别延长圆内接四边形ABCD两组对边相交于E和F两点.如果∠E=30°,∠F=50°,那么∠A=________.
28.如图，PA与圆O相切于点A，PCB为圆O的割线,并且不过圆心O.已知∠BPA=30°,PA=,PC=1,则圆O的半径
为________.
29.如图，直线PQ与⊙O相切于点A，AB是⊙O的弦，∠PAB的平分线AC交⊙O于点C，连接CB，并延长与PQ相交于Q点，若AQ=6，AC=5，则弦AB的长是_______.
30.如图，AB为⊙O的直径，CB切⊙O于点B，CD切⊙O于点D，交BA的延长线于点E.若EA=1，ED=2，则BC的长为________.
答案解析
1.【解析】∵PA是切线，∴∠BAP=∠ACP.∵∠P=∠P,∴△PAB∽△PCA,
∴,即,∴PC=8.设圆的半径为r,由切割线定理,得PA2=PB·PC，即16=(8-2r)×8，解得r=3.
答案：3
2.【解析】连接OC，∵CD切圆O于点C，∴OC⊥CD.∵∠A=30°,∴∠COD=60°，∴∠D=30°.
答案：30°
3.【解析】设正方形的边长为2a，
则AF=BF=a,
∴CF=.
又∵CF·EF=AF·BF,
∴CF·EF=a2,
∴EF=,∴CF∶EF=5∶1.
答案：5
4.【解题指南】利用相似三角形对应边成比例，求得AB的值.
【解析】由弦切角定理，得∠PAB=∠ACB.
又∵∠BAC=∠APB，
∴△ABP∽△CBA,∴,∴AB2=PB·BC=7×5=35,∴AB=.
答案：
5.【解析】如图，等腰梯形ABCD外切于⊙O，设M，N是梯形上、下底与⊙O相切的切点，作DP⊥AB，P为垂足，连接MN，易知MN过点O.根据圆的切线性质，
DM=2 cm=PN.设AN=x cm,
则AD=(x+2) cm,AP=(x-2)cm.
易知MN=DP=6 cm.
在Rt△APD中，AD2=DP2+AP2，
即(x+2)2=62+(x-2)2,解得x=，
故等腰梯形ABCD的腰长为x+2=6.5(cm).
答案：6.5 cm
6.【解析】∵△AOD是等腰三角形，∠AOD=30°,∴∠A=(180°-30°)=75°.又∵圆内接四边形ABCD的对角∠BCD与∠A互补，∴∠BCD=180°-75°=105°.
答案：105°
7.【解析】∵∠P=∠P,∠PCB=∠PAD,
∴△PCB∽△PAD,∴.
∵,
∴,
∴.
答案：
8.【解析】∵CD是切线，
∴CD2=BD·(BD+AB)，即28=BD2+3BD，
解得BD=4.又∠DCB=∠A,∠D为公共角，
∴△ACD∽△CBD,∴,
∴AC=.
答案：
9.【解析】∵CD⊥AB,∠B=60°,
∴∠BCD=30°,∴BD=BC.
又∵AE⊥BC,∴∠AEC=∠ADC,
∴A、D、E、C四点共圆，
∴∠BED=∠BAC.又∵∠B=∠B，
∴△BED∽△BAC,∴.
答案：
10.【解析】设BE=x,则AF=4x,FB=2x.因为AF·FB=DF·FC，所以8x2=2,x=.又CE2=BE·AE，即CE=.
答案:
11.【解析】由圆的割线定理,得AB·AC=AD·AE，
∴AE=8，∴DE=5.连接EB，∵∠EDB=90°,
∴EB为直径，∴∠ECB=90°.
由勾股定理，得EB2=DB2+ED2=AB2-AD2+ED2
=16-9+25=32.
在Rt△ECB中，EB2=BC2+CE2=4+CE2,
∴CE2=28，∴CE=.
答案：5
12.【解析】连接AC，
∵PC2=PA·PB，∴PA=2，∠ACP=∠B=30°.
在△PAC中，由正弦定理，得,
∴sin∠PAC=1,
∴∠PAC=90°,∴∠P=60°,∠PCB=90°,
∴BC=.
答案：
13.【解析】由相交弦定理，得CD·DT=AD·BD，
∴DT==6,
∴PT2=(PB+4)2-62=PB(PB+7),
解得PB=20.
答案：20
14.【解析】∵点P是AB的中点，
∴OP⊥AB.
∴BP=AP=acos30°=.
由相交弦定理，得BP·AP=CP·DP.
即,
∴CP=.
答案：
15.【解析】在优弧上任取一点E，连接AE、BE.∵AC是⊙O的切线，
∴∠E=∠BAC=60°.∵四边形ADBE是圆内接四边形，
∴∠D+∠E=180°,∴∠D=120°.
答案：120°
16.【解析】连接AB、AO、CE、OE，则△OAB,△OCE是边长为2的等边三角形，∠ABD=60°，AD=×2=，
BD=×2=1.在Rt△BEC中，∠BCE=60°,EC=×4=2,BE=×4=.
易知△BDF∽△BEC,∴,∴DF=.
∴AF=AD-DF=.
答案：
17.【解析】由题意知，∠QAC+∠QCA=∠PQC=∠B=∠BCA=∠CAP+∠P,
∴∠ACQ=∠P.
∴△ACQ∽△APC,即，
∴AC2=AQ·AP.又∵AQ∶QP=1∶2,
∴()2=AP2,
即AP=15.
答案：15
18.【解析】∵BE切⊙O于点B，∴∠ABE=∠ACB.
又AD∥BC,∴∠EAB=∠ABC,
∴△EAB∽△ABC,∴.
∵AE∥BC,∴,∴.
又∵AD∥BC,∴，
∴AB=CD，∴，
∴，
∴EF=.
答案：
19.【解析】由已知条件，得∠BAE=∠CAD.
∵∠AEB与∠ACD是同弧所对的圆周角，
∴∠AEB=∠ACD,
∴△ABE∽△ADC,
∴，即AB·AC=AD·AE.
又S=AB·ACsin∠BAC,且S=AD·AE，
∴AB·ACsin∠BAC=AD·AE，
∴sin∠BAC=1.又∵∠BAC为△ABC的内角，
∴∠BAC=90°.
答案：90°
20.【解析】∠A+∠B+∠C==×180°=90°.
答案：90°
21.【解析】由弦切角定理,
得∠MCA=∠ABC,
∵sin∠ABC=.
∴sin∠MCA=.
答案：
22.【解析】∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°.
由射影定理，得CD2=AD·BD，即42=AD×8，
∴AD=2，∴AB=2+8=10，
∴⊙O的半径等于5.
答案：5
23.【解析】连接BC，∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°.
∵∠ACD=60°,∴∠DCB=30°, =60°.
∵∠ADC=45°,∴=90°，
∴∠AEC==75°.
答案：75°
24.【解析】∵CD是⊙O的切线，
∴OC⊥CD.
又∵AD⊥CD，∴OC∥AD,
∴∠ACO=∠CAD.∵OC=OA,
∴∠CAO=∠ACO,
∴∠CAD=∠CAO,故AC平分∠DAB,∴∠CAO=40°.
又∵∠ACO=∠CAO,∴∠ACO=40°.
答案：40°
25.【解析】连接OC、AC，则OC⊥PC，∴O、C、T、B四点共圆，∠COB=60°,
∴∠AOC=120°.
由AO=OC=2知AC=.
在Rt△APC中，∠ACP=60°,
∴PC=.
根据切割线定理，得PQ·PB=PC2=3.
答案：3
26.【解析】连接AB.∵PA切⊙O于点A，B为PO中点，
∴AB=OB=OA，
∴∠AOB=60°,∴∠POD=120°.
方法一：在△POD中，由余弦定理，
得PD2=PO2+DO2-2PO·DOcos∠POD=4+1-4×()=7,
∴PD=.
方法二：过点D作DE⊥PC，垂足为点E.
∵∠POD=120°,
∴∠DOC=60°，∴OE=，
DE=.在Rt△PED中，
PD=.
答案：
27.【解析】由∠A+∠ADC+∠E=180°,∠A+∠ABC+∠F=180°,
∠ADC+∠ABC=180°,∴∠A=(180°-∠E-∠F)=50°.
答案：50°
28.【解析】如图，由PA2=PC·PB，得PB=12，连接OA并反向延长交圆O于点E，交CB于点D.在直角三角形APD中可以求得PD=4，DA=2，故CD=3，DB=8.设圆的半径为R，由于ED·DA=CD·DB，
∴(2R-2)×2=3×8，解得R=7.
答案：7
29.【解析】∵PQ为切线，∴∠PAC=∠ABC.
∵AC是∠PAB的平分线，
∴∠BAC=∠PAC,∴∠ABC=∠BAC,
∴BC=AC=5.
由切割线定理，得AQ2=QB·QC，
∴62=QB·(QB+5)，解得QB=4.
∵∠QAB=∠QCA,∴△QAB∽△QCA,∴,
∴,解得AB=.
答案：
30.【解析】∵CE为⊙O的切线，D为切点，
∴ED2=EA·EB.
∵EA=1,ED=2,∴EB=4,
∵CB、CD均为⊙O的切线，∴CD=CB.
在Rt△EBC中，设BC=x,则EC=x+2.
由勾股定理，得EB2+BC2=EC2，
即42+x2=(x+2)2,解得x=3,∴BC=3.
答案：3
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