课时提能演练
1.(2012·娄底模拟)如图：PA切圆O于点A，PA=4，PBC过圆心O，且与圆相交于B、C两点，AB∶AC=1∶2,则圆O的半径为________.
2.如图AB、AC是⊙O的两条弦，∠A=30°，过点C的切线与OB的延长线交于点D，则∠D的度数为________.
3.如图，⊙O是正方形ABCD的外接圆，F是AB的中点，CF的延长线交⊙O于点E，那么CF∶EF的值是__________.
4.(2011·广东高考)如图，过圆O外一点P分别作圆的切线和割线交圆于A,B,且PB=7，C是圆上一点使得BC=5，∠BAC=∠APB，则AB=__________.
5.圆外切等腰梯形的上底长为4 cm，圆的半径为3 cm，那么这个梯形的腰长是
________________.
6.如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB和DC相交于点P.若,
,则的值为_________.
7.已知圆O的半径为3，从圆O外一点A引切线AD和割线ABC，圆心O到AC的距离为,AB=3，则切线AD的长为__________.
8.如图，⊙O是△ABC的外接圆，过点C的切线交AB的延长线于点D，CD=，AB=BC=3，则AC=_____________.
9.如图，已知△ABC中，∠B=60°,CD⊥AB,AE⊥BC,则DE=_____AC.
10.(2011·天津高考)如图,已知圆中两条弦AB与CD相交于点F,E是AB延长线上一点，且DF=CF=，AF∶FB∶BE=4∶2∶1.若CE与圆相切,则线段CE的长为
____________.
11.如图，⊙O的弦ED，CB的延长线交于点A.若BD⊥AE,AB=4,BC=2,AD=3,则DE=
________;CE=___________.
12.如图，PC是⊙O的切线，C为切点，PAB为割线，PC=4，PB=8，∠B=30°,则BC=_____________.
13.如图，PT为⊙O的切线，T为切点，PA是割线，它与⊙O的交点是A、B，与直径CT的交点是D，已知CD=2，AD=3，BD=4，那么PB=_______.
14.如图，在三角形ABC中，∠A=60°,∠ACB=70°,CF是△ABC的边AB上的高，FP⊥BC于点P，FQ⊥AC于点Q，则∠CQP的大小为_________.
15.如图，△ABC是圆内接三角形，PA切圆于点A，PB交圆于点D，若∠ABC=
60°,PD=1,BD=8,则∠PAC=________,PA=______.
16.(2011·湖南高考)如图所示，A，E是半圆周上的两个三等分点，直径BC=4，AD⊥BC，垂足为D，BE与AD相交于点F，则AF的长为________
17.在圆内接△ABC中，AB=AC=，Q为圆上一点，AQ和BC的延长线交于点P(如图)，且AQ∶QP=1∶2，则AP=_________.
18.如图所示，梯形ABCD内接于⊙O,AD∥BC,过B引⊙O的切线分别交DA、CA的延长线于E、F.已知BC=8，CD=5，AF=6，则EF的长为________.
19.如图，△ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E.若△ABC的面积S=AD·AE，则∠BAC=_________.
20.如图，已知A、B、C、D、E五点都在⊙O上，且AC为⊙O的直径，则∠A+∠B+∠C=________.
21.如图所示，AB是⊙O的直径，MN与⊙O切于点C，AC=BC，则sin∠MCA
=__________.
22.如图，圆O上一点C在直径AB上的射影为D，CD=4，BD=8，则圆O的半径等于_________.
23.如图，已知AB是⊙O的直径，CD与AB相交于E，∠ACD=60°,∠ADC=45°，则∠AEC=_________.
24.如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D，∠DAB=80°,则∠ACO=________.
25.如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AP和过C的切线互相垂直，垂足为P，过B的切线交过C的切线于T，PB交⊙O于Q,若∠BTC=120°,AB=4,则PQ·PB=__________.
26.如图，PA切⊙O于点A，割线PBC经过圆心O，OB=PB=1，OA绕点O逆时针旋转60°到OD，则PD的长为_________.
27.如图，分别延长圆内接四边形ABCD两组对边相交于E和F两点，如果∠E=
30°,∠F=50°,那么∠A=____________.
28.如图，PA与圆O相切于A，PCB为圆O的割线.并且不过圆心O，已知∠BPA=
30°,PA=,PC=1,则圆O的半径为__________.
29.如图，直线PQ与⊙O相切于点A，AB是⊙O的弦，∠PAB的平分线AC交⊙O于点C，连接CB，并延长与PQ相交于Q点，若AQ=6，AC=5，则弦AB的长是
___________.
30.如图，AB为⊙O的直径，CB切⊙O于B，CD切⊙O于D，交BA的延长线于E，若EA=1，ED=2，则BC的长为________.
答案解析
1.【解析】∵PA是切线，
∴∠BAP=∠ACP,∵∠P=∠P,∴△PAB∽△PCA,则,即,∴PC=8.设圆的半径为r,由切割线定理PA2=PB·PC得，16=(8-2r)×8.解出r=3.
答案：3
2.【解析】连接OC，因为CD切圆O于点C，所以OC⊥CD，因为∠A=30°,所以∠COD=60°，所以∠D=30°.
答案：30°
3.【解析】设正方形的边长为2a，
则AF=BF=a,
∴CF=a.
又∵CF·EF=AF·BF,
∴CF·EF=a2,
∴EF=,
∴CF∶EF=5∶1.
答案：5∶1
4.【解题指南】利用相似三角形对应边成比例，求得AB的值.
【解析】∵∠PAB=∠ACB,又∠BAC=∠APB，
∴△ABP∽△CBA,∴,
从而AB2=PB·BC=7×5=35,∴AB=.
答案：
5.【解析】如图，等腰梯形ABCD外切于⊙O，
设M，N是梯形上、下底与⊙O相切的切点，作DP⊥AB，P为垂足，连接MN，易知MN过点O.根据圆的切线性质，DM=2 cm=PN,若设AN=x cm,
则AD=(x+2) cm,AP=(x-2)cm.
易知MN=DP=6 cm,
所以在Rt△APD中，AD2=DP2+AP2，
即(x+2)2=62+(x-2)2,
解得x=，
故等腰梯形ABCD的腰长为x+2=6.5(cm).
答案：6.5 cm
6.【解析】∵∠P=∠P,∠PCB=∠PAD,
∴△PCB∽△PAD.
∴
∵
答案：
7.【解析】作OE⊥BC垂足为E，连接OC，由题意知，OC=3，OE=，则CE=BE=1，所以AC=5，由切割线定理得，AD2=AB·AC=15，所以AD=.
答案：
8.【解析】∵CD是切线，
∴CD2=BD·(BD+AB)，即28=BD2+3BD，
∴BD=4，又∠1=∠A,∠D为公共角，
∴△ACD∽△CBD,∴,
∴AC=.
答案：
9.【解析】∵CD⊥AB,∠B=60°,
∴∠BCD=30°,∴BD=BC,
又∵AE⊥BC,∴∠AEC=∠ADC,
∴A、D、E、C四点共圆，
又∠BED=∠BAC,又∠B为公共角，
∴△BED∽△BAC,
∴,即DE=AC.
答案：
10.【解题指南】利用相交弦及切线的比例关系求解.
【解析】设BE=x,则AF=4x,FB=2x,因为AF·FB=DF·FC，所以8x2=2,x=，又CE2=BE·AE，即CE=.
答案:
11.【解析】由圆的割线定理知：AB·AC=AD·AE，
∴AE=8，∴DE=5，连接EB，∵∠EDB=90°,
∴EB为直径，∴∠ECB=90°.
由勾股定理，得EB2=DB2+ED2=AB2-AD2+ED2=16-9+25=32.
在Rt△ECB中，EB2=BC2+CE2=4+CE2,
∴CE2=28，∴CE=.
答案：5
12.【解析】连接AC，∵PC2=PA·PB，∴PA=2，∠ACP=∠B=30°,在△PAC中，由正弦定理得,∴sin∠PAC=1,
从而∠PAC=90°,∠P=60°,∠PCB=90°,
∴BC=.
答案：
13.【解析】由相交弦定理，得CD·DT=AD·BD，
∴DT= =6,
∴PT2=(PB+4)2-62=PB(PB+7).
解得PB=20.
答案：20
14.【解析】由FP⊥BC,FQ⊥AC知，Q、C、P、F四点共圆，所以∠CQP=∠CFP=∠B=180°-(60°+70°)=50°.
答案：50°
15.【解析】∵PA是圆的切线，
∴∠PAC=∠ABC=60°,又PA2=PD·PB=1×(1+8)=9,所以PA=3.
答案：60° 3
16.【解析】连接AB、AO、CE、OE，则△OAB,
△OCE是边长为2的等边三角形，∠ABD=60°，AD=×2=，BD=×2=1,在Rt△BEC中，∠BCE=60°,EC=×4=2,BE=×4=.易知△BDF∽△BEC,
∴∴DF=,
∴AF=AD-DF=.
答案：
17.【解析】由题意知，∠QAC+∠QCA=∠PQC=∠B=∠BCA=∠CAP+∠P,
则∠ACQ=∠P,
所以△ACQ∽△APC,即，
则AC2=AQ·AP，又AQ∶QP=1∶2,
所以()2=AP2,
即AP=15.
答案：15
18.【解析】∵BE切⊙O于B，
∴∠ABE=∠ACB.
又AD∥BC,∴∠EAB=∠ABC,
∴△EAB∽△ABC,∴.
又AE∥BC,∴,∴.
又AD∥BC,∴，
∴AB=CD，∴，
∴，
∴EF=.
答案：
19.【解析】由已知条件，可得∠BAE=∠CAD.
因为∠AEB与∠ACD是同弧所对的圆周角，
所以∠AEB=∠ACD.
故△ABE∽△ADC.
所以，即AB·AC=AD·AE.
又S=AB·ACsin∠BAC,且S=AD·AE，
故AB·ACsin∠BAC=AD·AE，
则sin∠BAC=1.又∠BAC为△ABC的内角，
所以∠BAC=90°.
答案：90°
20.【解析】∠A+∠B+∠C=(的度数+的度数+的度数)=×180°=
90°.
答案：90°
21.【解析】由弦切角定理得∠MCA=∠ABC,
∵sin∠ABC=
∴sin∠MCA=.
答案：
22.【解析】由射影定理，得CD2=AD·BD，
即42=AD×8，
∴AD=2，∴直径AB=2+8=10，
∴圆O的半径等于5.
答案：5
23. 【解析】连接BC，由AB是⊙O的直径知∠ACB=90°,
∵∠ACD=60°,∴∠DCB=30°,的度数=60°,
∵∠ADC=45°,∴的度数=90°，
∴∠AEC=(的度数+的度数)=75°.
答案：75°
24.【解析】∵CD是⊙O的切线，
∴OC⊥CD,
又∵AD⊥CD，∴OC∥AD,
由此得∠ACO=∠CAD,∵OC=OA,
∴∠CAO=∠ACO,
∴∠CAD=∠CAO,
故AC平分∠DAB,
∴∠CAO=40°,
又∠ACO=∠CAO,
∴∠ACO=40°.
答案：40°
25.【解析】连接OC、AC，则OC⊥PC，
则O、C、T、B四点共圆，∠COB=60°,
故∠AOC=120°.
由AO=OC=2知AC=2，
在Rt△APC中，∠ACP=60°,
因此PC=.
根据切割线定理得PQ·PB=PC2=3.
答案：3
26.【解析】连接AB，∵PA切⊙O于点A，B为PO中点，
∴AB=OB=OA，
∴∠AOB=60°,∴∠POD=120°,
方法一：在△POD中，
由余弦定理得PD2=PO2+DO2-2PO·DOcos∠POD=4+1-4×()=7,
∴PD=.
方法二：过点D作DE⊥PC，垂足为E，∵∠POD=120°,
∴∠DOC=60°，可得OE=，DE=，在Rt△PED中，
∴PD=.
答案：
27.【解析】由∠A+∠ADC+∠E=180°,∠A+∠ABC+∠F=180°,
∠ADC+∠ABC=180°,
∴∠A=(180°-∠E-∠F)=50°.
答案：50°
28.【解析】如图，由PA2=PC·PB，得PB=12，
连接OA并反向延长交圆O于点E，交CB于点D，在直角三角形APD中可以求得PD=4，DA=2，故CD=3，DB=8，设圆的半径为R，由于ED·DA=CD·DB，因此，(2R-2)·2=3×8，解得R=7.
答案：7
29.【解析】∵PQ为切线，∴∠PAC=∠ABC,∵AC是∠PAB的平分线，
∴∠BAC=∠PAC.∴∠ABC=∠BAC,∴BC=AC=5,
由切割线定理，可得AQ2=QB·QC，
∴62=QB·(QB+5)，解得QB=4.
∵∠QAB=∠QCA,∴△QAB∽△QCA,∴,
∴,解得AB=.
答案：
30.【解析】∵CE为⊙O的切线，D为切点，
∴ED2=EA·EB.
又∵EA=1,ED=2,∴EB=4,
又∵CB、CD均为⊙O的切线，∴CD=CB.
在Rt△EBC中，设BC=x,则EC=x+2.
由勾股定理：EB2+BC2=EC2，
得42+x2=(x+2)2,得x=3,∴BC=3.
答案：3
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