温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。 课时提能演练(六十九) 1.(易错题)(1)直线l的参数方程为
(t为参数)，求直线l的斜率； (2)在极坐标系中，直线m的方程为ρsin(θ＋)＝，求点(2，)到直线m的距离. 2.把下列参数方程化为普通方程： (1)
(θ为参数)； (2)
(t为参数，a，b≠0). 3.已知某曲线C的参数方程为
(其中t是参数，a∈R)，点M(5,4)在该曲线上. (1)求常数a；(2)求曲线C的普通方程. 4.(预测题)已知点P(x，y)是圆x2＋y2＝2y上的动点， (1)求的取值范围； (2)若3x＋4y＋a≥0恒成立，求实数a的取值范围. 5.把下列参数方程化为普通方程： (1)
；(2)
. 6.已知直线l过点P(2,0)，斜率为，直线l和抛物线y2＝2x相交于A、B两点，设线段AB的中点为M，求： (1)|PM|；(2)M点的坐标. 7.已知直线的极坐标方程为ρsin(θ＋)＝，圆M的参数方程为
(其中θ为参数). (1)将直线的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求圆M上的点到直线的距离的最小值. 8.(2012·太原模拟)已知曲线C1：
(t为参数)， C2：
(θ为参数). (1)化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； (2)若C1上的点P对应的参数为t＝，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：
(t为参数)距离的最小值. 9.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为
(t为参数)，在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，圆C的方程为ρ＝2sinθ. (1)求圆C的直角坐标方程； (2)设圆C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为(3， )，求|PA|＋|PB|. 10.直角坐标系xOy中，以原点O为极点，Ox为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2cosθ，直线l的参数方程为
(t为参数). (1)写出曲线C在直角坐标系的标准方程和直线l的普通方程； (2)若直线l与曲线C相交于A、B两点，点M在曲线C上移动，试求△ABM的面积的最大值. 答案解析 1.【解析】(1)直线l
的斜率为k＝＝＝－. (2)直线m的极坐标方程ρsin(θ＋)＝的直角坐标方程为x＋y＝1，点(2，)的直角坐标为(，－)，点到直线m的距离为d＝＝. 2.【解析】(1)y＝1－2sin2θ＋1＝2－2sin2θ， 把sinθ＝x代入，得y＝2－2x2(－1≤x≤1)； (2)方法一：由
得，
， ∴两式相乘得：－＝4. 方法二：由
得
，∴①2－②2得－＝4. 3.【解析】(1)由题意可知有
，故
， ∴a＝1. (2)由已知及(1)可得，曲线C的参数方程为
， 由第一个方程得t＝， 代入第二个方程得y＝()2，即y＝x2－x＋为所求. 4.【解题指南】(1)设圆的参数方程，建立目标函数，结合三角函数的性质，转化为不等式求解；也可以运用动直线与圆有公共点，利用一元二次方程的根的判别式的不等式解决； (2)不等式的恒成立问题，通常转化为求变量的最大值或最小值： 若a≥f(x，y)恒成立，则a≥f(x，y)max；若a≤f(x，y)恒成立，则a≤f(x，y)min. 【解析】由于点P(x，y)是圆x2＋y2＝2y上的动点，故设圆的参数方程为
， (1)方法一：令＝＝k， 则sinθ－kcosθ＝2k－1， ∴sin (θ＋
)＝2k－1 ∴sin(θ＋
)＝， 由于|sin(θ＋
)|≤1，∴||≤1， 两边平方，整理，得3k2－4k≤0，解得0≤k≤， ∴的取值范围是[0，]. 方法二：令＝k，则y＝kx＋2k， 代入x2＋y2＝2y，整理，得 (1＋k2)x2＋(4k2－2k)x＋4k2－4k＝0， 由题意，得Δ≥0，即(4k2－2k)2－4(1＋k2)(4k2－4k)≥0， 化简，得3k2－4k≤0，解得0≤k≤， ∴的取值范围是[0，]. (2)由题意，得3x＋4y＋a＝3cosθ＋4sinθ＋4＋a≥0， ∴a≥－(3cosθ＋4sinθ)－4， ∴a≥－5sin(θ＋
)－4， ∵－9≤－5sin(θ＋
)－4≤1， ∴a≥1. 所以实数a的取值范围是[1，＋∞). 5.【解析】(1)由t＝，代入上式， 得＋＝1(－3≤x≤0). (2)∵x＝sin θ＋cos θ＝sin(θ＋)， ∴x∈[－， ]， 把x＝sin θ＋cos θ平方后减去y＝1＋sin 2θ， 得到x2＝y， ∴普通方程是x2＝y(x∈[－， ]). 6.【解析】(1)∵直线l过点P(2,0)，斜率为， 设直线的倾斜角为α，tanα＝， sinα＝，cosα＝， ∴直线l的参数方程为
(t为参数)(*) ∵直线l和抛物线相交，将直线的参数方程代入抛物线方程y2＝2x中，整理得 8t2－15t－50＝0，且Δ＝152＋4×8×50>0， 设这个一元二次方程的两个根为t1、t2， 由根与系数的关系，得t1＋t2＝，t1t2＝－， 由M为线段AB的中点，根据t的几何意义， 得|PM|＝||＝. (2)∵中点M所对应的参数为tM＝，将此值代入直线的参数方程(*)， 点M的坐标为
， 即M(，)为所求. 7.【解析】(1)极点为直角坐标原点O，ρsin(θ＋)＝ρ(sinθ＋ cosθ)＝， ∴ρsinθ＋ρcosθ＝1，化为直角坐标方程为x＋y－1＝0. (2)将圆的参数方程化为普通方程：x2＋(y＋2)2＝4，圆心为C(0，－2)，半径为r＝2， ∴点C到直线的距离为d＝＝＝>2， ∴圆上的点到直线距离的最小值为. 8.【解析】(1)C1：(x＋4)2＋(y－3)2＝1， C2：＋＝1. C1为圆心是(－4,3)，半径是1的圆.C2为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆. (2)当t＝时，P(－4,4)，Q(8cosθ，3sinθ)， 故M(－2＋4cosθ，2＋sinθ). 直线C3的普通方程为x－2y－7＝0，M到C3的距离为d＝|4cosθ－3sinθ－13|＝|5sin(θ＋
)－13|. 从而当cosθ＝，sinθ＝－时，d取得最小值. 9.【解析】方法一： (1)由ρ＝2sinθ，得x2＋y2－2y＝0， 即x2＋(y－)2＝5. (2)将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程， 得(3－t)2＋(t)2＝5， 整理，得t2－3t＋4＝0. 由于Δ＝(－3)2－4×4＝2>0，故可设t1、t2是上述方程的两个实根， 所以
又直线l过点P(3， )，故由上式及t的几何意义得|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝t1＋t2＝3. 方法二： (1)同方法一. (2)因为圆C的圆心为(0， )，半径r＝，直线l的普通方程为：y＝－x＋3＋. 由
得x2－3x＋2＝0. 解得
或
. 不妨设A(1,2＋)，B(2,1＋)， 又点P的坐标为(3， )， 故|PA|＋|PB|＝＋＝3. 10.【解析】(1)由ρ＝2cosθ得ρ2＝2ρcosθ，即x2＋y2－2x＝0，所以曲线C的标准方程为(x－1)2＋y2＝1，直线l的普通方程为x－y＝0. (2)圆心(1,0)到直线l的距离为d＝＝＜r＝1，∴直线与圆相交，则圆上的点到直线l的最大距离为d＋r＝＋1(r为圆的半径)， 又∵|AB|＝2＝， ∴S△ABM≤|AB|(d＋r)＝××(＋1)＝， ∴△ABM面积的最大值为.

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