易失分点清零(三) 基本初等函数及函数
的应用
1.已知函数f(x)＝x－log3x，若实数x0是方程f(x)＝0的解，且0log3x1，所以f(x1)恒为正数．
答案 B
2．a＝0.80.7，b＝0.80.9，c＝1.20.8的大小关系是 ( )．
A．a>b>c B．c>a>b
C．b>c>a D．b>a>c
解析 由y＝ax的性质知c>1，a<1，b<1，又考虑y＝0.8x的单调性可知a>b，∴c>a>b.
答案 B
3．函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a、b为常数，则下列结论正确的是 ( )．
A．a>1，b<0
B．a>1，b>0
C．00
D．00，即b<0.从而D正确．
答案 D
4．(2013·广州模拟)已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点，则k＋α＝( )．
A. B．1 C. D．2
解析 ∵f(x)＝k·xα是幂函数，∴k＝1.又f(x)的图象过点，∴α＝，∴α＝，∴k＋α＝1＋＝.
答案 C
5．函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象关于直线x＝－对称．据此可推测，对任意的非零实数a，b，c，m，n，p，关于x的方程m[f(x)]2＋nf(x)＋p＝0的解集都不可能是 ( )．
A．{1,2} B．{1,4}
C．{1,2,3,4} D．{1,4,16,64}
解析 设关于f(x)的方程m[f(x)]2＋nf(x)＋p＝0有两根，即f(x)＝t1或f(x)＝t2.而f(x)＝ax2＋bx＋c的图象关于x＝－对称，因而f(x)＝t1或f(x)＝t2的两根也关于x＝－对称．而选项D中≠.
答案 D
6．函数f(x)＝mx2－2x＋1有且仅有一个正实数零点，则实数m的取值范围是
( )．
A．(－∞，1] B．(－∞，0]∪{1}
C．(－∞，0)∪{1} D．(－∞，1)
解析 当m＝0时，x＝为函数的零点；当m≠0时，若Δ＝0，即m＝1时，x＝1是函数唯一的零点，若Δ≠0，显然x＝0不是函数的零点，这样函数有且仅有一个正实数零点等价于方程f(x)＝mx2－2x＋1＝0有一个正根一个负根，即mf(0)<0，即m<0.故选B.
答案 B
7. 已知函数f(x)＝ax＋b的图象如图所示，则g(x)＝loga(x＋b)的图象是 ( )．
解析 由f(x)＝ax＋b的图象知00，则g(x)＝loga(x＋b)为减函数，排除A，B，又函数y＝loga(x＋b)的定义域为(－b，＋∞)，且－b<0，排除C.
答案 D
8．设函数f(x)＝F(x)＝f(x)＋x，x∈R.F(x)的值域为 ( )．
A．(－∞，1] B．[2，＋∞)
C．(－∞，1]∪[2，＋∞) D．(－∞，1)∪(2，＋∞)
解析 当x>0时，F(x)＝＋x≥2；当x≤0时，F(x)＝ex＋x，根据指数函数与一次函数的单调性，F(x)是单调递增函数，F(x)≤F(0)＝1，所以F(x)的值域为(－∞，1]∪[2，＋∞)
答案 C
9．定义在R上的奇函数f(x)满足f(2－x)＝f(x)，当x∈[0,1]时，f(x)＝，又g(x)＝cos ，则集合{x|f(x)＝g(x)}等于 ( )．
A. B.
C．{x|x＝2k＋1，k∈Z} D.
解析 由题意，得函数为奇函数，即有f(－x)＝－f(x)．又f(2－x)＝f(x)，所以f(2－x)＝－f(－x)．令t＝－x，则f(t＋2)＝－f(t)，故f(t＋4)＝f(t)，即函数f(x)以4为周期，而函数g(x)＝cos 也以4为周期，经画图象观察，在它们公共的定义域[0,4]上，方程f(x)＝g(x)的解只有一个∈[0,1]，故方程的解集为B.
答案 B
10．设g(x)＝则g＝________.
解析 由题可知g＝lg<0，
可得g＝glg＝10lg＝.
答案
11．设m∈N，若函数f(x)＝2x－m－m＋10存在整数零点，则m的取值集合为________．
解析 由题中m∈N，函数f(x)＝2x－m－m＋10存在整数零点知，－5≤x≤10，若使f(x)存在整数零点，则当m≠0时∈Z，于是x只能取1,6,9,10这四个数
字，令2x－m－m＋10＝0，则将x的可能取值分别代入方程，可得m∈{3,14,30}；当m＝0时，也符合题意，于是m的取值集合为{0,3，14,30}．
答案 {0,3,14,30}
12．用二分法求方程x2＝2的正实根的近似解(精确度0.001)时，如果我们选取初始区间是[1.4,1.5]，则要达到精确度要求至少需要计算的次数是________．
解析 设至少需要计算n次，由题意知<0.001，
即2n>100，由26＝64.27＝128知n＝7.
答案 7
13．已知函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)在区间[1,2]上的最大值与最小值的差为，则a的值为________．
解析 当a>1时，f(x)＝ax在[1,2]上为增函数，
故f(x)max＝a2，f(x)min＝a，
由题意知a2－a＝，解得a＝0(舍)或a＝，故a＝，
当020，
x－2 013>＝＝28.7
则x>2 041.7，即x＝2 042.
答案 2 042
15．某同学高三阶段12次数学考试的成绩呈现前几次与后几次均连续上升，中间几次连续下降的趋势．现有三种函数模型；①f(x)＝pqx，②f(x)＝logax＋q，③f(x)＝(x－1)·(x－q)2＋p(其中p，q为正常数，且q>2)．能较准确反映数学成绩与考试序次关系，应选________作为模拟函数；若f(1)＝4，f(3)＝6，则所选函数f(x)的解析式为________．
解析 (1)因为f(x)＝pqx，f(x)＝logax＋q是单调函数，f(x)＝(x－1)(x－q)2＋p中，f′(x)＝3x2－(4q＋2)x＋q2＋2q，令f′(x)＝0，得x＝q，x＝，f(x)有两个零点，可以出现两个递增区间和一个递减区间，所以应选f(x)＝(x－1)(x－q)2＋p为其成绩模拟函数．
(2)由f(1)＝4，f(3)＝6，得解得故f(x)＝x3－9x2＋24x－12(1≤x≤12，且x∈Z)．
答案 ③ f(x)＝x3－9x2＋24x－12(1≤x≤12，且x∈Z)
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