【解析分类汇编系列四：北京2013高三（期末）文数】：10：概率
一、选择题
．（北京市昌平区2013届高三上学期期末考试数学文试题）设不等式组 表示的平面区域为．在区域内随机取一个点，则此点到直线的距离大于2的概率（ ）
A． B． C． D．
D
不等式对应的区域为三角形DEF,当点D在线段BC上时，点D到直线的距离等于2，所以要使点D到直线的距离大于2，则点D应在三角形BCF中。各点的坐标为,所以
,根据几何概型可知所求概率为,选D.
．（北京市丰台区2013届高三上学期期末考试数学文试题）从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，则恰有一个红球的概率是 （ ）
A． B． C． D．
C
从袋中任取2个球，恰有一个红球的概率，选C.
．（北京市海淀区2013届高三上学期期末考试数学文试题）在等边的边上任取一点，则的概率是 （ ）
A． B． C． D．
C
当时，有，即，则有，要使，则点P在线段上，所以根据几何概型可知的概率是，选C.
二、填空题
．（北京市西城区2013届高三上学期期末考试数学文科试题）平行四边形中，为的中点．若在平行四边形内部随机取一点，则点取自△内部的概率为______．
,根据几何概型可知点取自△内部的概率为，其中为平行四边形底面的高。
三、解答题
．（北京市东城区普通高中示范校2013届高三3月联考综合练习（二）数学（文）试题）为调查乘客的候车情况,公交公司在某站台的60名候车乘客中随机抽取15人,将他们的候车时间(单位:分钟)作为样本分成5组,如下表所示:
组别
候车时间
人数
一
2
二
6
三
4
四
2
五
1
(Ⅰ)求这15名乘客的平均候车时间;
(Ⅱ)估计这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数;
(Ⅲ)若从上表第三、四组的6人中随机抽取2人作进一步的问卷调查,求抽到的两人恰好来自不同组的概率.
解:(Ⅰ)由图表得:
,所以这15名乘客的平均候车时间为10 钟
(Ⅱ)由图表得:这15名乘客中候车时间少于10分钟的人数为8,所以,这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数大约等于
(Ⅲ)设第三组的乘客为,第四组的乘客为,“抽到的两个人恰好来自不同的组”为事件.-----------------------
所得基本事件共有15种,即
,
其中事件包含基本事件8种,由古典概型可得,即所求概率等于
．（北京市石景山区2013届高三上学期期末考试数学文试题）一个盒子中装有张卡片，每张卡片上写有个数字，数字分别是???．现从盒子中随机抽取卡片．
（Ⅰ）若一次抽取张卡片，求张卡片上数字之和大于的概率；
（Ⅱ）若第一次抽张卡片，放回后再抽取张卡片，求两次抽取中至少一次抽到 数字的概率．
（Ⅰ）设表示事件“抽取张卡片上的数字之和大于”，任取三张卡片，三张卡片上的数字全部可能的结果是，，，．
其中数字之和大于的是，，
所以． 6分
（Ⅱ）设表示事件“至少一次抽到”，
第一次抽1张，放回后再抽取一张卡片的基本结果有：
，共个基本结果．
事件包含的基本结果有，
共个基本结果．
所以所求事件的概率为． …………………13分
．（北京市朝阳区2013届高三上学期期末考试数学文试题）某中学举行了一次“环保知识竞赛”， 全校学生参加了这次竞赛．为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计．请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图（如图所示）解决下列问题：
组别
分组
频数
频率
第1组
[50，60）
8
0.16
第2组
[60，70）
a
▓
第3组
[70，80）
20
0.40
第4组
[80，90）
▓
0.08
第5组
[90，100]
2
b
合计
▓
▓
（Ⅰ）写出的值；
（Ⅱ）在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学到广场参加环保知识的志愿宣传活动.
（ⅰ）求所抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组的概率；
（ⅱ）求所抽取的2名同学来自同一组的概率.
（Ⅰ）由题意可知，．……………………4分
（Ⅱ）（ⅰ）由题意可知，第4组共有4人，记为，第5组共有2人，记为．
从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学有，
共15种情况．…………………………………………………………………………6分
设“随机抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组”为事件， …………7分
有，共9种情况． ……………8分
所以随机抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组的概率是．
答：随机抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组的概率. ……………10分
（ⅱ）设“随机抽取的2名同学来自同一组”为事件，有共7种情况． …………………………………………………………………………11分
所以
答：随机抽取的2名同学来自同一组的概率是． ………………………………13分
．（北京市海淀区2013届高三上学期期末考试数学文试题）某汽车租赁公司为了调查A，B两种车型的出租情况，现随机抽取这两种车型各50辆，分别统计了每辆车在某个星期内的出租天数，统计数据如下表:
A型车
出租天数
3
4
5
6
7
车辆数
3
30
5
7
5
B型车
出租天数
3
4
5
6
7
车辆数
10
10
15
10
5
（I） 试根据上面的统计数据，判断这两种车型在本星期内出租天数的方差的大小关系（只
需写出结果）；
（Ⅱ）现从出租天数为3天的汽车（仅限A，B两种车型）中随机抽取一辆，试估计这辆汽
车是A型车的概率；
（Ⅲ）如果两种车型每辆车每天出租获得的利润相同，该公司需要购买一辆汽车，请你根据
所学的统计知识，给出建议应该购买哪一种车型，并说明你的理由.
（I）由数据的离散程度可以看出，B型车在本星期内出租天数的方差较大……3分
（Ⅱ）这辆汽车是A类型车的概率约为
这辆汽车是A类型车的概率为 ………………7分
（Ⅲ）50辆A类型车出租的天数的平均数为
………………9分
50辆B类型车出租的天数的平均数为
………………11分
答案一：一辆A类型的出租车一个星期出租天数的平均值为4.62，B类车型一个星期出租天数的平均值为4.8，选择B类型的出租车的利润较大,应该购买B型车……………13分
答案二：一辆A类型的出租车一个星期出租天数的平均值为4.62，B类车型一个星期出租天数的平均值为4.8，而B型车出租天数的方差较大，所以选择A型车 ……13分
．（北京市西城区2013届高三上学期期末考试数学文科试题）为了解学生的身体状况，某校随机抽取了一批学生测量体重．经统计，这批学生的体重数据（单位：千克）全部介于至之间．将数据分成以下组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到如图所示的频率分布直方图．现采用分层抽样的方法，从第3，4，5组中随机抽取6名学生做初检．
（Ⅰ）求每组抽取的学生人数；
（Ⅱ）若从6名学生中再次随机抽取2名学生进行复检，求这2名学生不在同一组的概率．
（Ⅰ）解：由频率分布直方图知，第，，组的学生人数之比为． …………2分
所以，每组抽取的人数分别为：
第组：；第组：；第组：．
所以从，，组应依次抽取名学生，名学生，名学生． ………………5分
（Ⅱ）解：记第组的位同学为，，；第组的位同学为，；第组的位同学为． …………6分
则从位同学中随机抽取2位同学所有可能的情形为：
，共种可能． ……………10分
其中，
这11种情形符合2名学生不在同一组的要求． …………12分
故所求概率为． ………………13分
．（北京市房山区2013届高三上学期期末考试数学文科试题（解析版））（本小题满分13分）某校从参加高三年级期中考试的学生中随机选取40名学生，并统计了他们的政治成绩，这40名学生的政治成绩全部在40分至100分之间，现将成绩分成以下6段：，据此绘制了如图所示的频率分布直方图.
（Ⅰ）求成绩在的学生人数；
（Ⅱ）从成绩大于等于80分的学生中随机选2名学生，求至少有1名学生成绩在的概率.
（Ⅰ）因为各组的频率之和为1，所以成绩在区间的频率为
， …………………3分
所以，40名学生中成绩在区间的学生人数为（人）.
…………………5分
（Ⅱ）设表示事件“在成绩大于等于80分的学生中随机选两名学生，至少有一名学生成绩在区间内”，
由已知和（Ⅰ）的结果可知成绩在区间内的学生有4人，
记这四个人分别为，
成绩在区间内的学生有2人， …………………7分
记这两个人分别为，
则选取学生的所有可能结果为：
，
基本事件数为15， …………………9分
事件“至少一人成绩在区间之间”的可能结果为：
，
基本事件数为9， …………………11分
所以. …………………13分
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