【解析分类汇编系列四：北京2013高三（期末）文数】：专题2：函数
一、选择题
．（北京市石景山区2013届高三上学期期末考试数学文试题）下列函数中，既是偶函数，又是在区间上单调递减的函数是 （ ）
A． B． C． D．
D
单调递增，且为非奇非偶函数，不成立。是偶函数，但在上递增，不成立。为偶函数，但在上不单调，不成立，所以选D.
．（北京市昌平区2013届高三上学期期末考试数学文试题）函数的零点个数为（ ）
A． B． C． D．
C
由得。令，在同一坐标系下分别作出函数的图象，由图象可知两个函数的交点个数为2个，所以函数的零点个数为2个，选C.
．（北京市昌平区2013届高三上学期期末考试数学文试题）设定义域为的函数满足以下条件；①对任意；②对任意.则以下不等式一定成立的是
① ②
③④（ ）
A．①③ B．②④ C．①④ D．②③
B
由①知，所以函数为奇函数。由②知函数在上单调递增。因为，所以，即②成立。排除AC.因为，所以，又，所以，因为函数在在上单调递增，所以在上也单调递增，所以有成立，即④也成立，所以选B.
．（北京市朝阳区2013届高三上学期期末考试数学文试题）已知函数（），若函数在上有两个零点，则的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
D
当时，由得，此时。当时，由得。即，因为，所以，即，选D.
．（北京市东城区2013届高三上学期期末考试数学文科试题）给出下列命题：①在区间上，函数,,, 中有三个是增函数；②若，则；③若函数是奇函数，则的图象关于点对称；④若函数，则方程有个实数根，其中正确命题的个数为 （ ）
A． B． C． D．
C
①在区间上,只有，是增函数，所以①错误。②由，可得，即，所以，所以②正确。③正确。④得，令，在同一坐标系下做出两个函数的图象，如图，由图象可知。函数有两个交点，所以④正确。所以正确命题的个数为3个。选C.
．（北京市通州区2013届高三上学期期末考试数学文试题）设函数则（ ）
A． B． C． D．
A
，所以，选A.
．（北京市西城区2013届高三上学期期末考试数学文科试题）函数的零点个数为（ ）
A． B． C． D．
B
由，得，令，在坐标系中作出两个函数的图象，由图象可知交点为一个，即函数的零点个数为1个，选B.
．（北京市西城区2013届高三上学期期末考试数学文科试题）已知函数的定义域为．若常数，对，有，则称函数具有性质．给定下列三个函数：
①； ②； ③．
其中，具有性质的函数的序号是 （ ）
A．① B．③ C．①② D．②③
B
由题意可知当时，恒成立，若对，有。①若，则由得，平方得，所以不存在常数，使横成立。所以①不具有性质P. ②若，由得，整理，所以不存在常数，对，有成立，所以②不具有性质P。③若，则由得由，整理得，所以当只要，则成立，所以③具有性质P，所以具有性质的函数的序号是③。选B
．（北京市房山区2013届高三上学期期末考试数学文科试题（解析版））对于函数，若在其定义域内存在两个实数，使得当时，
的值域是，则称函数为“函数”. 给出下列四个函数
① ②
③ ④
其中所有“函数”的序号是（ ）
A．①③ B．②③ C．②④ D．②③④
D
①因为，单调递增，所以当，，即，值域为，所以这样的不存在，所以①不是“函数”。②若，则当时，函数的值域为，所以②是“函数”。③因为单调递增，所以当，，即，值域为，由，即，由图象可知函数与有两个交点，所以③是“函数”。④若，则，在定义域上为增函数，所以当，，即，值域为，由得，由图象可知与有两个交点，所以④是“函数”。所以选D.
二、填空题
．（北京市东城区普通高中示范校2013届高三3月联考综合练习（二）数学（文）试题）设函数则函数，的零点个数为_____________.
．（北京市东城区普通高中示范校2013届高三3月联考综合练习（二）数学（文）试题）对于函数,若存在区间,使得 ,则称区间为函数的一个“稳定区间”.给出下列三个函数:
①;②;③.
其中存在稳定区间的函数有_________________.(写出所有正确的序号)
．（北京市石景山区2013届高三上学期期末考试数学文试题）给出定义：若 (其中为整数)，则叫做离实数最近的整数，记作，即. 在此基础上给出下列关于函数的四个命题：
①的定义域是，值域是；
②点是的图像的对称中心，其中；
③函数的最小正周期为；
④ 函数在上是增函数．
则上述命题中真命题的序号是 ．
①③
①中，令，所以。所以正确。②，所以点不是函数的图象的对称中心，所以②错误。③，所以周期为1，正确。④令，则，令，则，所以，所以函数在上是增函数错误。，所以正确的为①③
．（北京市丰台区2013届高三上学期期末考试数学文试题）设 .
3
，所以。
．（北京市通州区2013届高三上学期期末考试数学文试题）奇函数的定义域为，若在上单调递减，且，则实数的取值范围是
因为奇函数在上单调递减，所以函数在上单调递减。由得，所以由，得，所以，即实数的取值范围是。
．（北京市通州区2013届高三上学期期末考试数学文试题）对任意两个实数，定义若，，则的最小值为 ．
因为，所以时，解得或。当时，，即，所以，做出图象，由图象可知函数的最小值在A处，所以最小值为。
．（北京市西城区2013届高三上学期期末考试数学文科试题）若函数是奇函数，则______．
因为函数为奇函数，所以，即。
．（北京市房山区2013届高三上学期期末考试数学文科试题）已知函数 则的值为 .
.
三、解答题
．（北京市丰台区2013届高三上学期期末考试数学文试题）（本题共13分 ）函数的定义域为集合A，函数的值域为集合B．
（Ⅰ）求集合A，B；
（Ⅱ）若集合A，B满足,求实数a的取值范围．
【解】（Ⅰ）A=,
==， ….…………………..……4分
B. ..……………………………………………….…...7分
（Ⅱ）∵，∴．..….…………………………………………… 9分
∴或，
∴实数a的取值范围是{a|或}．….………………..…………………..13分
．（北京市海淀区2013届高三上学期期末考试数学文试题）已知函数的定义域为，若在上为增函数，则称 为
“一阶比增函数”.
(Ⅰ) 若是“一阶比增函数”，求实数的取值范围；
(Ⅱ) 若是“一阶比增函数”，求证：，；
（Ⅲ）若是“一阶比增函数”，且有零点，求证：有解.
【解】（I）由题在是增函数，
由一次函数性质知
当时，在上是增函数，
所以 ………………3分
（Ⅱ）因为是“一阶比增函数”，即在上是增函数，
又，有，
所以， ………………5分
所以，
所以
所以 ………………8分
（Ⅲ）设，其中.
因为是“一阶比增函数”，所以当时，
法一：取，满足，记
由（Ⅱ）知，同理，
所以一定存在，使得，
所以 一定有解 ………………13分
法二：取，满足，记
因为当时，，所以对成立
只要 ，则有，
所以 一定有解 ………………13分
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