【解析分类汇编系列四：北京2013高三（期末）文数】：专题9：圆锥曲线 一、选择题  ．（北京市东城区2013届高三上学期期末考试数学文科试题）已知抛物线的焦点到其准线的距离是，抛物线的准线与轴的交点为，点在抛物线上且，则的面积为 （　　） A．32 B．16 C．8 D．4 A 由题意知，所以抛物线方程为，焦点,准线方程，即,设, 过A做垂直于准线于M,由抛物线的定义可知,所以,即,所以，整理得，即，所以，所以,选A.  ．（北京市海淀区2013届高三上学期期末考试数学文试题）点是抛物线上一点，到该抛物线焦点的距离为，则点的横坐标为 （　　） A．2 B．3 C．4 D．5 B 抛物线的准线为，根据抛物线的对应可知，到该抛物线焦点的距离等于到该准线的距离，即，所以，即点的横坐标为3，选B.  ．（北京市通州区2013届高三上学期期末考试数学文试题）已知直线和直线，抛物线上一动点到直线 和直线的距离之和的最小值是 （　　） A． B． C． D． B 因为抛物线的方程为，所以焦点坐标,准线方程为。所以设到准线的距离为,则。到直线的距离为， 所以,其中为焦点到直线的距离，所以，所以距离之和最小值是2，选B.  二、填空题 ．（北京市昌平区2013届高三上学期期末考试数学文试题）以双曲线的右焦点为圆心，并与其渐近线相切的圆的标准方程是 _  双曲线的渐近线为，不妨取，即。双曲线的右焦点为，圆心到直线的距离为，即圆的半径为4，所以所求圆的标准方程为。 ．（北京市昌平区2013届高三上学期期末考试数学文试题）过椭圆上一点作直线交椭圆于两点，设的斜率分别为，若点关于原点对称，且则此椭圆的离心率为___________.  设,则，所以，又，两式相减得，即，所以，即，整理得，即，所以离心率。 ．（北京市朝阳区2013届高三上学期期末考试数学文试题）已知双曲线中心在原点，一个焦点为，点P在双曲线上，且线段的中点坐标为（，），则此双曲线的方程是 ，离心率是 . ， 由双曲线的焦点可知，线段PF1的中点坐标为，所以设右焦点为，则有，且，点P在双曲线右支上。所以，所以，所以，所以双曲线的方程为，离心率、. ．（北京市海淀区2013届高三上学期期末考试数学文试题）双曲线的渐近线方程为_____；离心率为______.  由双曲线的方程可知双曲线的焦点在轴，，所以，即，所以双曲线的渐近线为，离心率。 ．（北京市西城区2013届高三上学期期末考试数学文科试题）双曲线的渐近线方程为______；离心率为______． ，； 由双曲线的标准方程可知，，所以，。所以双曲线的渐近线方程为，离心率。 三、解答题 ．（北京市东城区普通高中示范校2013届高三3月联考综合练习（二）数学（文）试题）已知椭圆的中心在原点,焦点在轴上,一个顶点为,且其右焦点到直线的距离等于3. (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)是否存在经过点,斜率为的直线,使得直线与椭圆交于两个不同的点,并且?若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由. 解:(Ⅰ)设椭圆的方程为,其右焦点的坐标为. 由已知得.由得,所以 所以,椭圆的方程为 (Ⅱ)假设存在满足条件的直线,设, 的中点为 由得, 则,且由得 由得,所以, 即, 所以,,将代入解得 , 所以 故存在满足条件的直线,其方程为 【注】其它解法酌情给分. ．（北京市石景山区2013届高三上学期期末考试数学文试题）已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，长轴长为，直线交椭圆于不同的两点． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）求的取值范围； （Ⅲ）若直线不经过椭圆上的点，求证：直线的斜率互为相反数． （Ⅰ）由题意知, ，又因为，解得 故椭圆方程为． …………………4分 （Ⅱ）将代入并整理得， 解得． …………………7分 （Ⅲ）设直线的斜率分别为和，只要证明． 设，， 则． ……9分  所以直线的斜率互为相反数． …………………14分 ．（北京市昌平区2013届高三上学期期末考试数学文试题）已知椭圆，其短轴的一个端点到右焦点的距离为，且点在椭圆上. 直线的斜率为,且与椭圆交于、两点． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）求面积的最大值. 解: (Ⅰ)由题意知，所以. 故所求椭圆方程为………………………………….5分 (Ⅱ) 设直线的的方程为,则.设 代入椭圆方程并化简得, …………6分 由,可得 . () 由()，得, 故…..9分 又点到的距离为, …………………10分 故 , 当且仅当,即时取等号满足()式. 所以面积的最大值为. ……………………13分 ．（北京市朝阳区2013届高三上学期期末考试数学文试题）已知直线与椭圆相交于两点，与轴相交于点，且当时，. （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）设点的坐标为，直线，与直线分别交于，两点. 试判断以为直径的圆是否经过点?并请说明理由. （Ⅰ）当时，直线的方程为，设点在轴上方， 由解得. 所以，解得. ……………………………………………3分 所以椭圆的方程为. ………………………………………………4分 （Ⅱ）由得，显然. …………5分 设,则. ……………6分 ,. 又直线的方程为， 解得， 同理得. 所以, …………………………………………9分 又因为    .…………………13分 所以,所以以为直径的圆过点. ………………………………14分 ．（北京市东城区2013届高三上学期期末考试数学文科试题）已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上且过点，离心率是． （Ⅰ）求椭圆的标准方程； （Ⅱ）直线过点且与椭圆交于，两点，若，求直线的方程. 【解：】（Ⅰ）设椭圆的方程为. 由已知可得………………………………………………3分 解得，. 故椭圆的方程为．………………………………………………………6分 （Ⅱ）由已知，若直线的斜率不存在，则过点的直线的方程为， 此时，显然不成立．…………………………7分 若直线的斜率存在，则设直线的方程为． 则 整理得．………………………………………………9分 由 ． 设． 故，① ． ②………………………………10分 因为，即．③ ①②③联立解得． ………………………………13分 所以直线的方程为和．……………14分 ．（北京市丰台区2013届高三上学期期末考试数学文试题）（本题共13分）曲线都是以原点O为对称中心、离心率相等的椭圆 . 点M的坐标是（0,1）,线段MN是的短轴，是的长轴 . 直线与交于A,D两点（A在D的左侧），与交于B,C两点（B在C的左侧）． （Ⅰ）当m= ， 时，求椭圆的方程； （Ⅱ）若，求m的值． 解：设C1的方程为,C2的方程为（）． …..2分 ∵C1 ,C2的离心率相同， ∴,∴，………………………………..……………………3分 ∴C2的方程为． 当m=时，A,C．………………………………….……5分 又∵, ∴，解得a=2或a=(舍)， ……………………………...………..6分 ∴C1 ,C2的方程分别为，． …………………………..7分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知A(-,m),C(,m) ．……………….……………9分 ∵OC⊥AN， （）． ……………………………............................................…10分 ∵=（,m），=（,-1-m)， 代入（）并整理得2m2+m-1=0， ………………………………………………12分 ∴m=或m=-1(舍负) ， ∴m= ． ……………………………………………………………………13分 ．（北京市海淀区2013届高三上学期期末考试数学文试题）已知椭圆：的一个焦点为，左右顶点分别为，.经过点的直线与椭圆交于，两点. （Ⅰ）求椭圆方程； （Ⅱ）当直线的倾斜角为时，求线段的长； （Ⅲ）记与的面积分别为和，求的最大值. 【解】：（I）因为为椭圆的焦点,所以又 所以所以椭圆方程为 ………………3分 （Ⅱ）因为直线的倾斜角为,所以直线的斜率为1, 所以直线方程为,和椭圆方程联立得到 ,消掉,得到 ………………5分 所以 所以 ………………7分 （Ⅲ）当直线无斜率时,直线方程为, 此时, 面积相等， ………………8分 当直线斜率存在（显然）时,设直线方程为, 设 和椭圆方程联立得到,消掉得 显然，方程有根，且 ………………10分 此时  ………………12分 因为,上式，（时等号成立） 所以的最大值为 ………………14分 ．（北京市通州区2013届高三上学期期末考试数学文试题）已知椭圆的中心在原点，短半轴的端点到其右焦点的距离为，过焦点F作直线，交椭圆于两点． （Ⅰ）求这个椭圆的标准方程； （Ⅱ）若椭圆上有一点，使四边形AOBC恰好为平行四边形，求直线的斜率． 【解 】（Ⅰ）由已知，可设椭圆方程为，…………………… 1分 则 ，． …………………………………………2分 所以　， …………………………………3分 所以　椭圆方程为． …………………………………………4分 （Ⅱ）若直线轴，则平行四边形AOBC中，点C与点O关于直线对称，此时点C坐标为．因为 ，所以点C在椭圆外，所以直线与轴不垂直． …………………………………………6分 于是，设直线的方程为，点，， …7分 则 整理得， … 8分 ， ………………………………………… 9分 所以　． ……………………………………… 10分 因为 四边形为平行四边形， 所以 ， ……………………………………… 11分 所以 点的坐标为， ……………………………12分 所以 ， ……………………………13分 解得， 所以．　　　　　　　　　　　　………………………………14分 ．（北京市西城区2013届高三上学期期末考试数学文科试题）如图，，是椭圆的两个顶点．，直线的斜率为． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）设直线平行于，与轴分别交于点，与椭圆相交于．证明：△的面积等于△的面积． （Ⅰ）解：依题意，得  ………………2分 解得 ，． ………………3分 所以 椭圆的方程为． ………………4分 （Ⅱ）证明：由于//，设直线的方程为，将其代入，消去， 整理得 ． ………………6分 设，． 所以  ………………8分 证法一：记△的面积是，△的面积是． 由，， 则． ………………10分 因为 ， 所以 ， ………………13分 从而． ………………14分 证法二：记△的面积是，△的面积是． 则线段的中点重合． ………………10分 因为 ， 所以 ，． 故线段的中点为． 因为 ，， 所以 线段的中点坐标亦为． ………………13分 从而． ………………14分 ．（北京市房山区2013届高三上学期期末考试数学文科试题（解析版））（本小题满分14分）已知椭圆的左、右焦点分别为，线段（为坐标原点）的中点分别为，上顶点为，且为等腰直角三角形. (Ⅰ) 求椭圆的标准方程； (Ⅱ) 过点作直线交椭圆于两点，使，求直线的方程. （Ⅰ）由焦点坐标可得 又 为的中点，为上顶点，为等腰直角三角形 所以 ……………………2分 所以 ……………………4分 所以椭圆标准方程为  …………………5分 (Ⅱ)解法一：当直线与轴垂直时，易知不垂直； ………6分 当直线与轴不垂直时，设直线方程为， ………7分 代入椭圆方程整理得恒成立）………8分 设，则  ………9分   = = ………11分 由，得 即，解得 ………13分 所以满足条件的直线有两条，其方程为 ………14分 解法二：由题意可知，直线的斜率不为0， ………………6分 设直线的方程为 …………………7分 代入椭圆方程整理得恒成立） ………8分 设 则 …………………9分   = = = = …………………12分 由，得 即，解得  所以满足条件的直线有两条，其方程为 ………14分
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