武汉科技大学附中2014版《创新设计》高考数学一轮复习单元突破：推理与证明
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若，则的大小关系是( )
A． B． C． D．由的取值确定
【答案】C
2．“所有9的倍数都是3的倍数，某奇数是9的倍数，故某奇数是3的倍数.”上述推理是( )
A．正确的 B．大前提错 C．小前提错 D．结论错
【答案】A
3．在（-1,1）上的函数f(x)满足： ；当时，有；若，；则P,Q,R的大小关系为( )
A．R>Q>P B． P>R>Q C． R>P>Q D．不能确定
【答案】C
4．已知 ，猜想的表达式为( )
A． B． C． D．
【答案】B
5．用反证法证明“如果，那么”时，反证假设的内容应是( )
A． B．
C．或 D． 且
【答案】C
6．对于大于1的自然数m的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：
……仿此，若的“分裂数”中有一个是59，则m的值为( )
A． 7 B．8 C．9 D．10
【答案】B
7．已知数列中，，，猜想的值为( )
A． B． C． D．
【答案】B
8．已知整数对排列如下：（1,1）,(1,2）,(2,1）（1,3），（2,2）,(3,1),(1,4),(2,3),(3,2), (4,1),(1,5),(2,4),…,则第60个整数对是( )
A．（5，7） B．（4，8） C．（5，8） D．（6，7）
【答案】A
9．用反证法证明命题：“如果，那么”时，假设的内容应是( )
A． B．
C． D．且
【答案】C
10．我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径．“开立圆术”相当于给出了已知球的体积，求其直径的一个近似公式。人们还用过一些类似的近似公式．根据判断，下列近似公式中最精确的一个是( )
A． B． C． D．
【答案】D
11．设，则有( )
A． B．
C． D． 的大小不定
【答案】C
12．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，假设正确的是( )
A．假设三内角都不大于60度
B．假设三内角都大于60度
C．假设三内角至少有一个大于60度
D．假设三内角至多有二个大于60度
【答案】B
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题 (本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)
13．某人按如下方法做一次旅行(都在同一个平面上)：第一天向东行千米，第二天向南行千米，第三天向西行千米，第四天向北行千米，第五天再向东行千米，第六天再向南行千米，…，如此继续下去，到第四十天结束时，他距第一天出发点的直线距离为 千米．1160
【答案】1160
14．函数（）是常数，其图象是一条直线，称这个函数为线性函数.而对于非线性可导函数，在已知点附近一点的函数值，可以用如下方法求其近似代替值：.利用这一方法，对于实数，取，则的近似代替值 .（填“>”或“<”或“=”）
【答案】>
15．黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：则第n个图案中有白色地面砖____________块.
【答案】4n+2
16．观察下列等式：
…，根据以上规律, ____________.(用具体数字写出最后结果)
【答案】1296
三、解答题 (本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．设函数中，均为整数，且均为奇数．求证：无整数根．
【答案】假设有整数根，则； 因为 均为奇数，所以为奇数，为偶数，即
同时为奇数 或为偶数为奇数，
(1）当为奇数时，为偶数；
(2）当为偶数时，也为偶数，
即为奇数与矛盾.
所以假设不成立。 无整数根.
18．求证：质数序列……是无限的
【答案】假设质数序列是有限的，序列的最后一个也就是最大质数为，全部序列
为
再构造一个整数，
显然不能被整除，不能被整除，……不能被整除，
即不能被中的任何一个整除，
所以是个质数，而且是个大于的质数，与最大质数为矛盾，
即质数序列……是无限的
19．求证：当一个圆和一个正方形的周长相等时，圆的面积比正方形的面积大．
【答案】（分析法）设圆和正方形的周长为，依题意，圆的面积为，
正方形的面积为．
因此本题只需证明．
要证明上式，只需证明，
两边同乘以正数，得．
因此，只需证明．
上式是成立的，所以．
这就证明了如果一个圆和一个正方形的周长相等，那么圆的面积比正方形的面积最大．
20．求证：16<<17．
【答案】=<=2(－)，
同时>=2(－)．
于是得2(－)<<1+2(－)
即 16<<1+2(－1)<1+2(9－1)=17．
21．是否存在a、b、c使得等式1·22+2·32+…+n（n+1）2=（an2+bn+c）。
【答案】假设存在a、b、c使题设的等式成立，
这时令n=1,2,3,有
于是，对n=1,2,3下面等式成立
1·22+2·32+…+n（n+1）2=
记Sn=1·22+2·32+…+n（n+1）2
设n=k时上式成立，即Sk= (3k2+11k+10）
那么Sk+1=Sk+（k+1）（k+2）2=（k+2）（3k+5）+（k+1）（k+2）2
= (3k2+5k+12k+24）
=［3（k+1）2+11（k+1）+10］
也就是说，等式对n=k+1也成立。
综上所述，当a=3,b=11,c=10时，题设对一切自然数n均成立
22．我们已经学习过如下知识：平面内到两个定点的距离和等于常数的点的轨迹叫做椭圆；平面内到两个定点的距离之差的绝对值等于常数的点的轨迹叫做双曲线．
(1）试求平面内到两个定点的距离之商为定值的点的轨迹；
提示：取线段所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立直角坐标系，
设的坐标分别为其中
(2）若中，满足，求三角形的面积的最大值.
【答案】（1）取线段所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立直角坐标系，设的坐标分别为． 设动点坐标
根据题意可得
，
即
整理得
所以平面内到两个定点的距离之商为定值的点的轨迹是圆．
(用，最后整理得
(2）取线段所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立直角坐标系，设
的坐标分别为．
设顶点，根据题意可得
，
即整理得
即点落在除去两点的圆上．
又，
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