课时提能演练(十四)
(45分钟 100分)
一、选择题(每小题6分，共36分)
1.(2012·蚌埠模拟)已知f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f′(－1)＝4，则a的值
是( )
(A) (B) (C) (D)
2.(2012·汉中模拟)曲线y＝x3＋x在点(1，)处的切线与坐标轴围成的三角形面积为( )
(A) (B) (C) (D)
3.设曲线f(x)＝x3－x上的点P0处的切线为2x－y＝2，则点P0的坐标是( )
(A)(1,0) (B)(－1,0)
(C)(－1，－4) (D)(1,0)或(－1,0)
4.(2012·景德镇模拟)偶函数f(x)在(－∞，＋∞)内可导，且f′(1)＝－2，f(x＋2)＝f(x－2)，则曲线y＝f(x)在点(－5，f(－5))处切线的斜率为( )
(A)2 (B)－2 (C)1 (D)－1
5.已知函数f(x)＝xlnx.若直线l过点(0，－1)，并且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的方程为( )
(A)x＋y－1＝0 (B)x－y－1＝0
(C)x＋y＋1＝0 (D)x－y＋1＝0
6.(2012·咸阳模拟)定义方程f(x)＝f′(x)的实数根x0叫做函数f(x)的“新驻点”，若函数g(x)＝2x，h(x)＝lnx，φ(x)＝x3(x≠0)的“新驻点”分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系为( )
(A)a>b>c (B)c>b>a
(C)a>c>b (D)b>a>c
二、填空题(每小题6分，共18分)
7.(2012·亳州模拟)函数y＝的导数为_______.
8.若函数f(x)＝4lnx，点P(x，y)在曲线y＝f′(x)上运动，作PM⊥x轴，垂足为M，则△POM(O为坐标原点)的周长的最小值为 .
9.(易错题)已知定义在正实数集上的函数f(x)＝x2＋2ax，g(x)＝3a2lnx＋b，其中a＞0.设两曲线y＝f(x)，y＝g(x)有公共点，且在该点处的切线相同，用a表示b为 .
三、解答题(每小题15分，共30分)
10.设函数f(x)＝x3－3ax＋b(a≠0).若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处与直线y＝2相切，求a、b的值.
11.函数f(x)＝aex，g(x)＝lnx－lna，其中a为常数，且函数y＝f(x)和y＝g(x)的图像在其与坐标轴的交点处的切线互相平行，求此平行线的距离.
【探究创新】
(16分)已知曲线Cn：y＝nx2，点Pn(xn，yn)(xn＞0，yn＞0)是曲线Cn上的点(n＝1,2，…).
(1)试写出曲线Cn在点Pn处的切线ln的方程，并求出ln与y轴的交点Qn的坐标；
(2)若原点O(0,0)到ln的距离与线段PnQn的长度之比取得最大值，试求点Pn的坐标(xn，yn).
答案解析
1.【解析】选A.∵f′(x)＝3ax2＋6x，f′(－1)＝3a－6＝4，∴a＝.
2.【解题指南】先求切线方程，再求切线与坐标轴的交点坐标，进而求三角形的面积.
【解析】选A.∵y′＝x2＋1，当x＝1时，y′＝2，∴切线方程为y－＝(x－1)，∴切线与x轴、y轴的交点坐标分别为(，0)，(0，－)，∴S△＝××＝.
3.【解析】选A.设P0(x0，y0)，
∵f′(x)＝3x2－1.
∴由题意，得f′(x0)＝3x02－1＝2，x02＝1，
∴x0＝±1.
当x0＝1时，y0＝0，满足切线方程2x－y＝2；
当x0＝－1时，y0＝0，不满足切线方程2x－y＝2.
故P0(1,0).
【误区警示】解答本题易误选D，出错的原因是忽视了切点既在函数f(x)的图像上，也在切线上.
4.【解析】选A.∵f(x＋2)＝f(x－2)，
∴f(x＋4)＝f((x＋2)＋2)＝f((x＋2)－2)＝f(x)，
∴函数y＝f(x)的周期T＝4，∵f(x＋2)＝f(x－2)，∴f′(x＋2)＝f′(x－2)，同理可以推得f′(x)的周期也为4.
又∵y＝f(x)是偶函数，∴y＝f′(x)是奇函数，
∴f′(－5)＝－f′(5)＝－f′(1)＝2.
5.【解析】选B.f′(x)＝lnx＋1，x＞0，设切点坐标为(x0，y0)，则y0＝x0lnx0，切线的斜率为lnx0＋1，所以lnx0＋1＝，解得x0＝1，y0＝0，所以直线l的方程为x－y－1＝0.
6.【解析】选B.由g(x)＝g′(x)，得2x＝2，∴x＝1，即a＝1.
由h(x)＝h′(x)，得lnx＝，
如图易知1b>a.
7.【解析】y′＝＝.
答案：y′＝
8.【解析】f′(x)＝(x>0)，∴P(x，)，M(x,0)，
∴△POM的周长为x＋＋≥2＋＝4＋2(当且仅当x＝2时取得等号).
答案：4＋2
9.【解析】设y＝f(x)与y＝g(x)(x>0)在公共点(x0，y0)处的切线相同.
∵f′(x)＝x＋2a，g′(x)＝，
由题意知f(x0)＝g(x0)，f′(x0)＝g′(x0).
即，
由x0＋2a＝得：x0＝a或x0＝－3a(舍去).
即有b＝a2＋2a2－3a2lna＝a2－3a2lna.
答案：b＝a2－3a2lna
【变式备选】已知函数f(x)＝，g(x)＝alnx，a∈R.若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)相交，且在交点处有相同的切线，求a的值及该切线的方程.
【解析】f′(x)＝，g′(x)＝(x＞0)，由已知得：，解得a＝e，x＝e2.
∴两条曲线交点的坐标为(e2，e)，
切线的斜率为k＝f′(e2)＝，
所以切线的方程为y－e＝(x－e2)，
即x－2ey＋e2＝0.
10.【解析】f′(x)＝3x2－3a，
∵曲线在点(1，f(1))处与直线y＝2相切，
∴，即， 解得.
11.【解析】f′(x)＝aex，g′(x)＝，y＝f(x)的图像与坐标轴的交点为(0，a)，y＝g(x)的图像与坐标轴的交点为(a,0)，由题意得f′(0)＝g′(a)，即a＝.
又∵a＞0，∴ a＝1.
∴f(x)＝ex，g(x)＝lnx，∴函数y＝f(x)和y＝g(x)的图像在其与坐标轴的交点处的切线方程分别为：x－y＋1＝0，x－y－1＝0，∴两平行切线间的距离为.
【方法技巧】求曲线的切线方程
求曲线的切线方程，一般有两种情况：
(1)求曲线y＝f(x)在(x0，f(x0))处的切线，此时曲线斜率为f′(x0)，利用点斜式可得切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；
(2)求曲线y＝f(x)过点P(x0，y0)的切线，此时需要设出切点A(xA，yA)，表示出切线方程，再把P(x0，y0)的坐标代入切线方程，解得xA，进而写出切线方程.
【变式备选】已知函数f(x)＝(x－a)2(x－b)(a，b∈R，a＜b).
(1)当a＝1，b＝2时，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程.
(2)设x1，x2是f′(x)＝0的两个根，x3是f(x)的一个零点，且x3≠x1，x3≠x2.
证明：存在实数x4，使得x1，x2，x3，x4按某种顺序排列后成等差数列，并求x4.
【解析】(1)当a＝1，b＝2时，f(x)＝(x－1)2(x－2)，
因为f′(x)＝(x－1)( 3x－5)，故f′(2)＝1，f(2)＝0，
所以f(x)在点(2,0)处的切线方程为y＝x－2.
(2)因为f′(x)＝3(x－a)(x－)，
由于a
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