课时提能演练(七)
(45分钟 100分)
一、选择题(每小题6分，共36分)
1.已知x∈R,函数f(x)=(m-1)x2+(m-2)x+(m2-7m+12)为偶函数,则m的值是
( )
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
2.如果函数f(x)=x2+bx+c对任意实数t都有f(2+t)=f(2-t),那么( )
(A)f(2)＜f(1)＜f(4) (B)f(1)＜f(2)＜f(4)
(C)f(2)＜f(4)＜f(1) (D)f(4)＜f(2)＜f(1)
3.(2012·益阳模拟)函数y=x2+ax-1在区间[0,3]上有最小值-2，则实数a的值为( )
(A)2 (B)- (C)-2 (D)4
4.(预测题)如图是二次函数f(x)=x2-bx+a的部分图象，则函数g(x)=lnx+f′(x)的零点所在的区间是
( )
(A)(1，2) (B)(2，3)
(C)(，) (D)(，1)
5.(易错题)函数f(x)=ax2+(a-3)x+1在区间[-1,+∞)上是递减的,则实数a的取值范围是( )
(A)[-3,0) (B)(-∞,-3]
(C)[-2,0] (D)[-3,0]
6.若不等式x2+ax+1≥0对于一切x∈(0, ]恒成立,则a的最小值是( )
(A)0 (B)2 (C)- (D)-3
二、填空题(每小题6分，共18分)
7.(2012·长沙模拟)已知二次函数f(x)＝x2-3x+p-1,若在区间[0,1]内至少存在一个实数c，使f(c)>0，则实数p的取值范围是______.
8.若函数f(x)=(x+a)(bx+2a)(a、b∈R)是偶函数，且它的值域为(-∞,4]，则该函数的解析式f(x)=__________.
9.(2012·泉州模拟)若函数y=x2-3x-4的定义域为[0,m],值域为 [-,-4],则m的取值范围为_________.
三、解答题(每小题15分，共30分)
10.设f(x)为定义在R上的偶函数,当x≤-1时,y=f(x)的图象是经过点(-2,0),斜率为1的射线,又在y=f(x)的图象中的一部分是顶点在(0,2),且过点(-1,1)的一段抛物线，试写出函数f(x)的表达式,并作出其图象.
11.(2012·长沙模拟)已知函数f(x)=x2-2ax+5(a＞1).
(1)若f(x)的定义域和值域均是［1,a］,求实数a的值;
(2)若对任意的x1,x2∈［1,a+1］,总有|f(x1)-f(x2)|≤4,求实数a的取值范围.
【探究创新】
(16分)已知直线AB过x轴上一点A(2,0)且与抛物线y=ax2相交于B(1,-1)、C两点.
(1)求直线和抛物线对应的函数解析式.
(2)问抛物线上是否存在一点D,使S△OAD=S△OBC?若存在,
请求出D点坐标,若不存在,请说明理由.
答案解析
1.【解析】选B.由已知f(-x)=f(x)?(m-2)x=0,
又x∈R,∴m-2=0,得m=2.
2.【解析】选A.依题意,函数f(x)=x2+bx+c的对称轴方程为
x=2,且f(x)在[2,+∞)上为增函数,
因为f(1)=f(2-1)=f(2+1)=f(3),2＜3＜4,
∴f(2)＜f(3)＜f(4),即f(2)＜f(1)＜f(4).
3. 【解析】选C.y=x2+ax-1的对称轴为x=-.
当-≤0，即a≥0时，ymin=-1,不合题意；
当0<-<3即-60”?f(0)＝p-1>0,得p>1.
答案：(1，+∞)
8.【解题指南】化简f(x)，函数f(x)为偶函数，则一次项系数为0可求b.值域为(-∞,4],则最大值为4，可求a，即可求出解析式.
【解析】∵f(x)=(x+a)(bx+2a) =bx2+(2a+ab)x+2a2是偶函数，则其图象关于y轴对称，
∴2a+ab=0，∴b=-2或a=0(舍去).
又∵f(x)=-2x2+2a2且值域为(-∞,4]，
∴2a2=4，f(x)=-2x2+4．
答案：-2x2+4
9.【解题指南】可作出函数y=(x-)2-的图象，数形结合求解.
【解析】y=x2-3x-4=(x-)2-,
对称轴为x=,
当x=时,y=-,
∴m≥,
而当x=3时,y=-4,∴m≤3.
综上：≤m≤3.
答案：≤m≤3
10.【解析】当x≤-1时,设f(x)=x+b,则由0=-2+b,即
b=2,得f(x)=x+2;
当-1＜x＜1时,设f(x)=ax2+2,则由1=a(-1)2+2,即
a=-1,得f(x)=-x2+2;
当x≥1时,f(x)=-x+2.
故f(x)= 其图象如图.
11.【解析】(1)∵f(x)=(x-a)2+5-a2(a＞1),
∴f(x)在［1,a］上是减函数，又定义域和值域均为［1,a］，∴即解得a=2.
(2)若a≥2,又x=a∈［1,a+1］，且(a+1)-a≤a-1,
∴f(x)max=f(1)=6-2a,f(x)min=f(a)=5-a2.
∵对任意的x1,x2∈［1,a+1］,总有|f(x1)-f(x2)|≤4,
∴f(x)max-f(x)min≤4,即(6-2a)-(5-a2)≤4,
解得-1≤a≤3,
又a≥2,∴2≤a≤3.
若1＜a＜2,f(x)max=f(a+1)=6-a2,
f(x)min=f(a)=5-a2,
f(x)max-f(x)min≤4显然成立,
综上1＜a≤3.
【探究创新】
【解析】(1)设直线对应的函数解析式为y=kx+b,
由题知,直线过点A(2,0),B(1,-1),
∴解得k=1,b=-2.
∴直线的解析式为y=x-2,
又抛物线y=ax2过点B(1,-1),∴a=-1.
∴抛物线的解析式为y=-x2.
(2)直线与抛物线相交于B、C两点,故由
方程组解得B、C两点坐标为
B(1,-1),C(-2,-4).由图象可知,
S△OBC=S△OAC-S△OAB= ×|-4|×2-
×|-1|×2=3.假设抛物线上存在一点D,使
S△OAD=S△OBC,
可设D(t,-t2),
∴S△OAD= ×2×t2=t2,
∴t2=3,∴t= 或t=- .
即存在这样的点D(,-3)或(-,-3).
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