2.5 指数与指数函数
一、选择题
1．函数y＝a|x|(a>1)的图像是( )
解析：y＝a|x|＝当x≥0时，与指数函数y＝ax(a>1)的图像相同；当x<0时，y＝a－x与y＝ax的图像关于y轴对称，由此判断B正确．
答案：B
2．已知函数f(x)＝，则f(9)＋f(0)＝( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：f(9)＝log39＝2，f(0)＝20＝1，
∴f(9)＋f(0)＝3.
答案：D
3． 设函数y＝x3与y＝x－2的图象的交点为(x0，y0)，则x0所在的区间是( )．
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
解析 (数形结合法)如图所示．
由11，b>0，且ab＋a－b＝2，则ab－a－b的值为( )
A. B．2或－2
C．－2 D．2
解析：(ab＋a－b)2＝8?a2b＋a－2b＝6，
∴(ab－a－b)2＝a2b＋a－2b－2＝4.
又ab>a－b(a>1，b>0)，∴ab－a－b＝2.
答案：D
6．已知函数f(x)＝|2x－1|，af(c)>f(b)，则下列结论中，一定成立的是
( )
A．a<0，b<0，c<0
B．a<0，b≥0，c>0
C．2－a<2c
D．2a＋2c<2
解析：作出函数f(x)＝|2x－1|的图象如右图中实线所示，又af(c)>f(b)，结合图象知f(a)<1，a<0，c>0.∴0<2a<1，∴f(a)＝
|2a－1|＝1－2a.
∴f(c)<1，∴0f(c)，即1－2a>2c－1.
∴2a＋2c<2.
答案：D
7．设函数f(x)＝－，[x]表示不超过x的最大整数，则函数y＝[f(x)]的值域是( )．
A．{0,1} B．{0，－1} C．{－1,1} D．{1,1}
解析 由f(x)＝－＝1－－＝－，
由于(2x＋1)在R上单调递增，所以－在R上单调递增，所以f(x)为增函数，由于2x＞0，当x→－∞，2x→0，
∴f(x)＞－，当x→＋∞，→0，
∴f(x)＜，∴－＜f(x)＜，
∴y＝[f(x)]＝{0，－1}．
答案 B
二、填空题
8．8×＋(×)6＝________.
解析：原式＝2×2＋6＝2＋22×33＝2＋4×27＝110.
答案：110
9．若直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a＞0，且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值范围是________．
解析 (数形结合法)
由图象可知0＜2a＜1，∴0＜a＜.
答案
10．若函数y＝2－x＋1＋m的图象不经过第一象限，则m的取值范围是________．
解析：函数y＝2－x＋1＋m＝()x－1＋m，
∵函数的图象不经过第一象限，
∴()0－1＋m≤0，即m≤－2.
答案：(－∞，－2]
11．若函数f(x)＝ax－x－a(a>0，且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是________．
解析 令ax－x－a＝0即ax＝x＋a，
若01，y＝ax与y＝x＋a的图象如图所示．
答案 (1，＋∞)
12．已知正数a满足a2－2a－3＝0，函数f(x)＝ax，若实数m、n满足f(m)>f(n)，则m、n的大小关系为________．
解析：∵a2－2a－3＝0，∴a＝3或a＝－1(舍)．
函数f(x)＝ax在R上递增，由f(m)>f(n)得m>n.
答案：m>n
三、解答题
13．已知f(x)＝ex－e－x，g(x)＝ex＋e－x(e＝2.718 28…)
(1)求[f(x)]2－[g(x)]2的值；
(2)若f(x)f(y)＝4，g(x)g(y)＝8，求的值．
解析 (1)[f(x)]2－[g(x)]2＝(ex－e－x)2－(ex＋e－x)2
＝(e2x－2＋e－2x)－(e2x＋2＋e－2x)＝－4.
(2)f(x)f(y)＝(ex－e－x)(ey－e－y)
＝ex＋y＋e－x－y－ex－y－e－x＋y
＝[ex＋y＋e－(x＋y)]－[ex－y＋e－(x－y)]＝g(x＋y)－g(x－y)
∴g(x＋y)－g(x－y)＝4 ①
同理，由g(x)g(y)＝8，可得g(x＋y)＋g(x－y)＝8， ②
由①②解得g(x＋y)＝6，g(x－y)＝2，
∴＝3.
14．已知函数f(x)＝b·ax(其中a，b为常量，且a>0，a≠1)的图象经过点A(1,6)，B(3,24)．
(1)求f(x)；
(2)若不等式()x＋()x－m≥0在x∈(－∞，1]时恒成立，求实数m的取值范围．
解析：(1)把A(1,6)，B(3,24)代入f(x)＝b·ax，得
结合a>0且a≠1，解得
∴f(x)＝3·2x.
(2)要使()x＋()x≥m在(－∞，1]上恒成立，
只需保证函数y＝()x＋()x在(－∞，1]上的最小值不小于m即可．
∵函数y＝()x＋()x在(－∞，1]上为减函数，
∴当x＝1时，y＝()x＋()x有最小值.
∴只需m≤即可．
∴m的取值范围(－∞，]
15．已知函数f(x)＝ax2－4x＋3.
(1)若a＝－1，求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)有最大值3，求a的值．
解析：(1)当a＝－1时，f(x)＝－x2－4x＋3，
令t＝－x2－4x＋3，
由于t(x)在(－∞，－2)上单调递增，在[－2，＋∞)上单调递减，
而y＝t在R上单调递减，
所以f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在[－2，＋∞)上单调递增，
即函数f(x)的递增区间是[－2，＋∞)，递减区间是(－∞，－2)．
(2)令h(x)＝ax2－4x＋3，f(x)＝h(x)，
由于f(x)有最大值3，
所以h(x)应有最小值－1，
因此必有解得a＝1.
即当f(x)有最大值3时，a的值等于1.
16．若函数y＝为奇函数．
(1)求a的值；
(2)求函数的定义域；
(3)求函数的值域．
解析 ∵函数y＝，∴y＝a－.
(1)由奇函数的定义，可得f(－x)＋f(x)＝0，即
a－＋a－＝0，
∴2a＋＝0，∴a＝－.
(2)∵y＝－－，
∴2x－1≠0，即x≠0.
∴函数y＝－－的定义域为{x|x≠0}．
(3)∵x≠0，∴2x－1＞－1.
∵2x －1≠0，∴0＞2x－1＞－1或2x－1＞0.
∴－－＞或－－＜－.
即函数的值域为{y|y＞或y＜－}．
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