课时提能演练(十二)
(45分钟 100分)
一、选择题(每小题6分，共36分)
1.( 2011·福建高考)若关于x的方程x2+mx+1=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是( )
(A)(-1，1)
(B)(-2，2)
(C)(-∞,-2)∪(2,+∞)
(D)(-∞,-1)∪(1,+∞)
2.(2012·株洲模拟)函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝()x,则函数f-1(x)的零点为( )
(A)2 (B)-2 (C)3 (D)0
3.设f(x)=3x+3x-8，用二分法求方程3x+3x-8=0在x∈［1,2］上近似解的过程中，计算得到f(1)<0,f(1.5)>0,f(1.25)<0,则方程的解所在的区间为( )
(A)［1，1.25］ (B)［1.25，1.5］
(C)［1.5，2］ (D)不能确定
4.(预测题)设函数f(x)=n-1,x∈［n,n+1),n∈N，函数g(x)=log2x，则方程f(x)=g(x)的实数根的个数是( )
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
5.(2012·揭阳模拟)若函数y=()|1-x|+m的图象与x轴有公共点，则m的取值范围是( )
(A)m≤-1 (B)m≥1
(C)-1≤m<0 (D)0b;③dc中有可能成立的个数为( )
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
二、填空题(每小题6分，共18分)
7.(2012·衡阳模拟)把函数y=f(x)的图象沿直线x+y=0的方向向右下方平移个单位，得到函数y=log2x的图象，则函数f(x)的零点为_______.
8.(2012·衡水模拟)已知函数f(x)=3x+x-5的零点x0∈［a,b］,且b-a=1,a,b∈N*，则a+b=_________.
9.(易错题)若函数f(x)=(m-1)x2+2(m+1)x-1有且仅有一个零点，则实数m的取值集合是_________.
三、解答题(每小题15分，共30分)
10.(2012·长沙模拟)已知y=f(x)是定义域为R的奇函数，当x∈［0,+∞)时，f(x)=x2-2x.
(1)写出函数y=f(x)的解析式；
(2)若方程f(x)=a恰有3个不同的解，求a的取值范围.
11.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c.
(1)若a>b>c且f(1)=0，试证明f(x)必有两个零点；
(2)若对x1,x2∈R,且x10，解得m>2或m<-2.
2.【解析】选D.求反函数的零点，即求f(0)的值.
3.【解析】选B.由于f(1)<0,f(1.5)>0,则第一步计算中点值f(1.25)<0,又f(1.5)>0,则确定区间为［1.25，1.5］，故选B.
4.【解题指南】在同一坐标系中作出函数f(x)和g(x)的图象，数形结合求解.
【解析】选C.画出f(x)和g(x)的图象，如图所示，从图中不难看出方程f(x)=g(x)有3个零点.
5.【解析】选C.由已知函数y=()|1-x|+m有零点，即方程()|1-x|+m=0有解，此时m=-()|1-x|.
∵|1-x|≥0,∴0<()|1-x|≤1,
∴m∈［-1,0).
6.【解析】选C.由题意，f(x)=()x-log2x在(0,+∞)上是减函数，
∵正数a,b,c依次成公差为正数的等差数列，
∴af(b)>f(c),
又f(a)·f(b)·f(c)<0,
∴f(c)<0,又f(d)=0,
∴d0,f(b)>0,则ad,b>d.故①正确.
综上，有可能成立的为3个.
【变式备选】已知函数f(x)=()x-log2x,若实数x0是方程f(x)=0的解，且0f(x0)=0.
7. 【解析】函数f(x)=log2(x+2)+2,再令f(x)=0,求出x=-.
答案：-
8.【解析】由已知x0∈［a,b］,且b-a=1,a,b∈N*，
∴a,b的可能取值为a=1,b=2,或a=2,b=3，…
又f(1)=3+1-5=-1<0,f(2)=32+2-5=6>0，
∴f(1)f(2)<0,故a=1,b=2符合要求.
又∵f(x)为增函数，当x取大于或等于2的整数时，所对应的函数值都大于0，
∴a=1,b=2.
∴a+b=1+2=3.
答案：3
9.【解析】当m=1时，f(x)= 4x-1=0，得x=,符合要求.
当m≠1时，依题意得Δ=4(m+1)2+4(m-1)=0.即m2+3m=0,解得:m=-3或m=0，
∴m的取值集合是{-3，0，1}.
答案：{-3,0,1}
【误区警示】本题求解过程中易忽视m=1而失误.根据原式将f(x)误认为二次函数.
10.【解析】(1)当x∈(-∞,0)时，-x∈(0,+∞),
∵y=f(x)是奇函数，
∴f(x)=-f(-x)=-［(-x)2-2(-x)］
=-x2-2x,
∴f(x)=
(2)当x∈［0,+∞)时，f(x)=x2-2x=(x-1)2-1,最小值为-1；
当x∈(-∞,0)时，f(x)=-x2-2x=1-(x+1)2,最大值为1.
∴据此可作出函数y=f(x)的图象(如图所示)，根据图象得，若方程f(x)= a恰有3个不同的解，则a的取值范围是(-1，1).
11.【证明】(1)∵f(1)=0,∴a+b+c=0.
又∵a>b>c,∴a>0,c<0,即ac<0.
又∵Δ=b2-4ac≥-4ac>0,∴方程ax2+bx+c=0有两个不等实根，∴函数f(x)必有两个零点.
(2)令g(x)=f(x)-［f(x1)+f(x2)］，则g(x1)=f(x1)- ［f(x1)+f(x2)］= ,
g(x2)=f(x2)- ［f(x1)+f(x2)］
= .
∴g(x1)g(x2)=［］·［］
=- ［f(x1)-f(x2)］2.
∵f(x1)≠f(x2),∴g(x1)g(x2)<0.
∴g(x)=0在(x1,x2)内必有一实根.
即f(x)= ［f(x1)+f(x2)］必有一实根属于(x1,x2).
【探究创新】
【解析】(1)“对于任意的a∈R(R为实数集)，方程f(x)=1必有实数根”是真命题.
依题意：f(x)=1有实根，即x2+(2a-1)x-2a=0有实根，
∵Δ=(2a-1)2+8a=(2a+1)2≥0对于任意的a∈R(R为实数集)恒成立，即x2+(2a-1)x-2a=0必有实根，从而f(x)=1必有实根.
(2)依题意：要使y=f(x)在区间(-1，0)及(0，)内各有一个零点，
只需
即
解得.
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