课时提升作业(三十六) 一、选择题 1.设00,且a≠1)的图像恒过定点A,若点A在直线mx+ny+1=0上(其中m,n>0),则
+
的最小值等于　(　　) (A)16 (B)12 (C)9 (D)8 3.(20
12
·湖北高考)设a,b,c∈R,则“abc=1”是“
+
+
≤a+b+c”的　(　　) (A)充分条件但不是必要条件[ (B)必要条件但不是充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要的条件 4.某公司一年购买某种货物400吨,每次都购买x吨,运费为
4万元/次,一年的总存储费用为4x万元,要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x=　(　　) (A)20　　　(B)10　　　(C)16　　　(D)8 5.
(2013·抚州模拟)设a>0,b>0,若
是3a与3b的等比中项,则
+
的最小值为　 (　　) (A)8 (B)4 (C)2 (D)1 6.(2012·陕西高考)小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a1,b>1,若ax=by=3,a+b=2
,则
+
的最大值为　　　　. 10.若对任意x>0,
≤a恒成立,则a的取值范围是　　　　. 11.若当x>1时不等式
>m2+1恒成立,则实数m的取值范围是　　　　. 12.若实数x,y满足x2+y2+xy=1,则x+y的最大值是　　　　. 三、解答题 13.若x,y∈R,且满足(x2+y2+2)(x2+y2-1)-18≤0,(1)求x2+y2的取值范围.(2)求证:xy≤2. 14.已知x>0,y>0,且2x+8y-xy=0, 求(1)xy的最小值.(2)x+y的最小值. 15.(能力挑战题)某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为162平方米的污水处理池,池的深度一定(平面图如图所示),如果池围墙建造单价为400元/米,中间两道隔墙建造单价为248元/米,池底建造单价为80元/米2,水池所有墙的厚度忽略不计. (1)试设计污水处理池的长和宽,使总造价最低,并求出最低总造价. (2)若由于地形限制,设池的长和宽都不能超过16米,试设计该水池的长和宽,使总造价最低.
答案解析 1.【解析】选B.方法一:令a=1,b=4, 则
=2,
=
, ∴a<
<
0,b
>0 (B)要使
+
≥2成立,必有a>0,b>0 (C)若a>0,b>0,且a+b=4,则
+
≤1 (D)若ab>0,则
≥
【解析】选D.当a,b∈R时,一定有3a>0,3b>0,必有3a+3b≥2
,A错.要使
+
≥2成立,只要
>0,
>0即可,这时只要a,b同号,B错.当a>0,b>0,且a+b=4时,则
+
=
,由于ab≤(
)2=4,所以
+
=
≥1,C错.当a>0,b>0时,a+b≥2
,所以
≤
=
,而当a<0,b<0时,显然有
>
,所以当ab>0时,一定有
≥
,故D正确. 2.【解析】选D.由题意A(-2,-1), ∴-2m-n+1=0,即2m+n=1. ∴
+
=(
+
)(2m+n)=4+

+
≥8. 当且仅当n=2m时取等号. 3.【解析】选A.由于
+
+
=
≤
=
.可知当abc=1时,可推出
+
+
≤a+b+c;反之,如a=1,b=4,c=9,满足
+
+
≤a+b+c,但abc=1不成立. 4.【解析】选A.该公司一年购买某种货物400吨,每次都购买x吨,则需要购买
次,运费为4万元/次,一年的总存储费用为4x万元,故一年的总运费与总存储费用之和为(
·4+4x)万元. 而
·4+4x≥2
=160,当且仅当
=4x,即x=20
时,一年的总运费与总存储费用之和最小. 5.【解析】选B.由题意3=3a·3b=3a+b,∴a+b=1, ∴
+
=(
+
)(a+b)=2+
+
≥4, 当且仅当
=
,a=b时取等号. 6.【解析】选A.设甲乙两地的路程为s,则往返时间分别是t1=
,t2=
,所以平均速度是v=
=
=
,因为aa,
<
,即a0,∴x+
≥2(当且仅当x=1时取等号),
∴
=
≤
=
, ∴(
)max=
,∴a≥
. 答案：a≥
【方法技巧】根据恒成立求参数的方法 (1)若a≥f(x)恒成立,只需a≥f(x)max. (2)若a≤f(x)恒成立,只需a≤f(x)min. 即将求参数的范围问题转化为求函数的最值问题来解决. 11.【思路点拨】关键是用基本不等式求
的最小值,可将其分子按照分母x-1进行配方,然后分解为3项,再利用基本不等式求最值. 【解析】由于
=
=(x-1)+
+2≥2
+2=6,当且仅当x=3时取等号,所以要使不等式恒成立,应有m2+1<6,解得-
0,所以有0≤x2+y2≤4. (2)由(1)知x2+y2≤4,由基本不等式得xy≤
≤
=2,所以xy≤2. 14.【思路点拨】把2x+8y-xy=0转化为
+
=1即可. 【解析】(1)由2x+8y-xy=0,得
+
=1, 又x>0,y>0, 则1=
+
≥2
=
,得xy≥64, 当且仅当
=
时,等号成立. 所以xy的最小值为64. (2)由2x+8y-xy=0,得
+
=1, 则x+y=(
+
)·(x+y) =10+
+
≥10+2
=18. 当且仅当
=
,且
+
=1时等号成立, ∴x+y的最小值为18. 15.【解析】(1)设污水处理池的宽为x米,则长为
米,
则总造价f(x)=400×(2x+2×
)+248×2x+80×162=1296x+
+12960= 1296(x+
)+12960≥1296×2
+12960=38880(元). 当且仅当x=
,x=10时取等
号. ∴当长为16.2米,宽为10米时总造价最低,最低总造价为38880元. (2)由限制条件知
∴10
≤x≤16. 设g(x)=x+
(10
≤x≤16), ∴
g(x)在[10
,16]上是增函数, ∴当x=10
时(此时
=16),g(x)取最小值, 即f(x)取最小值. ∴当长为16米,宽为10
米时,总造价最低.

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